1

المرجع الالكتروني للمعلوماتية

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : المعادلات التفاضلية و التكاملية : مواضيع عامة في المعادلات :

Hadjicostas,s Formula

المؤلف:  Beukers, F.

المصدر: 

الجزء والصفحة:  ...

20-8-2018

700

Hadjicostas's Formula

HadjicostasContoursHadjicostasReIm

Hadjicostas's formula is a generalization of the unit square double integral

 gamma=int_0^1int_0^1(x-1)/((1-xy)ln(xy))dxdy

(1)

(Sondow 2003, 2005; Borwein et al. 2004, p. 49), where gamma is the Euler-Mascheroni constant. It states

 int_0^1int_0^1(1-x)/(1-xy)[-ln(xy)]^sdxdy 
 =Gamma(s+2)[zeta(s+2)-1/(s+1)]

(2)

for Re[s]>-2, where Gamma(z) is the gamma function and zeta(s) is the Riemann zeta function (although care must be taken at s=-1 because of the removable singularity present there). It was conjectured by Hadjicostas (2004) and almost immediately proved by Chapman (2004). The special case s=0 gives Beukers's integral for zeta(2),

 int_0^1int_0^1(dxdy)/(1-xy)=zeta(2)

(3)

(Beukers 1979). At s=1, the formula is related to Beukers's integral for Apéry's constant zeta(3), which is how interest in this class of integrals originally arose.

There is an analogous formula

 int_0^1int_0^1(1-x)/(1+xy)[-ln(xy)]^sdxdy 
 =Gamma(s+2)[eta(s+2)+(1-2eta(s+1))/(s+1)]

(4)

for R[s]>-3, due to Sondow (2005), where eta(z) is the Dirichlet eta function. This includes the special cases

ln(4/pi) = sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n-1)[1/n-ln((n+1)/n)]

(5)

= int_0^1int_0^1(x-1)/((1+xy)ln(xy))dxdy

(6)

= 0.241564...

(7)

(OEIS A094640; Sondow 2005) and

int_0^1int_0^1(1-x)/((1+xy)[ln(xy)]^2)dxdy = ln((pi^(1/2)A^6)/(2^(7/6)e))

(8)

= 0.256220094...

(9)

 


REFERENCES:

Beukers, F. "A Note on the Irrationality of zeta(2) and zeta(3)." Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.

Chapman, R. "A Proof of Hadjicostas's Conjecture." 15 Jun 2004. http://arxiv.org/abs/math/0405478.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Hadjicostas, P. "A Conjecture-Generalization of Sondow's Formula." 21 May 2004. http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0405423/.

Sloane, N. J. A. Sequences A094640, A103130 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Sondow, J. "Criteria for Irrationality of Euler's Constant." Proc. Amer. Math. Soc. 131, 3335-3344, 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0209070.

Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and ln(4/pi) and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly112, 61-65, 2005.

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي