Picking two independent sets of points  and  from a unit uniform distribution and placing them at coordinates  gives points uniformly distributed over the unit square.

The distribution of distances  from a randomly selected point in the unit square to its center is illustrated above.

The expected distance to the square's center is

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

(Finch 2003, p. 479; OEIS A103712), where  is the universal parabolic constant. The expected distance to a fixed vertex is given by

			(5)
			(6)

which is exactly twice .

The expected distances from the closest and farthest vertices are given by

			(7)
			(8)

Pick  points at randomly in a unit square and take the convex hull . Let  be the expected area of ,  the expected perimeter, and  the expected number of vertices of . Then

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

(OEIS A096428 and A096429), where  is the multiplicative inverse of Gauss's constant,  is the gamma function, and  is the Euler-Mascheroni constant (Rényi and Sulanke 1963, 1964; Finch 2003, pp. 480-481).

In addition,

			(15)
			(16)

where

			(17)
			(18)
			(19)

and

			(20)
			(21)

(Groeneboom 1988; Cabo and Groeneboom 1994; Keane 2000; Finch 2003, p. 481).

REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "Box Integrals." Preprint. Apr. 3, 2006.

Cabo, A. J. and Groeneboom, P. "Limit Theorems for Functionals of Convex Hulls." Probab. Th. Related Fields 100, 31-55, 1994.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 480-481, 2003.

Groeneboom, P. "Limit Theorems for Complex Hulls." Probab. Th. Related Fields 79, 327-368, 1988.

Heuter, I. "Limit Theorems for the Convex Hull of Random Points in Higher Dimensions." Trans. Amer. Math. Soc. 351, 4337-4363, 1999.

Keane, J. "Convex Hull Integrals and the 'Ubiquitous Constant.' " Unpublished note, 2000.

Rényi, A. and Sulanke, R. "Über die konvexe Hülle von  zufällig gewählten Punkten, I." Z. Wahrscheinlichkeits 2, 75-84, 1963.

Rényi, A. and Sulanke, R. "Über die konvexe Hülle von  zufällig gewählten Punkten, II." Z. Wahrscheinlichkeits 3, 138-147, 1964.

Sloane, N. J. A. Sequences A096428, A096429, and A103712 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يختتم مسابقة رحيق الولاء ضمن فعاليات ملتقى النورين الخامس في بابل

الحلقة 27 من جائزة العميد القرآنية تشهد مشاركة 5 قرّاء من فئة الكبار ضمن المرحلة النهائية

شعبة الخطابة للتبليغ الحسيني تواصل إقامة مجالس الوعظ والإرشاد للزائرين

المجمع العلمي يقيم محفلاً قرآنيًّا في الجامعة المستنصرية ببغداد

المزيد

الآخبار الصحية

كوب قبل النوم.. مشروب طبيعي يحارب الأرق

دون أدوية.. طريقة طبيعية لخفض ضغط الدم بفعالية مذهلة

المعكرونة ليست عدوك.. كيف تصبح جزءا من وجبة صحية متوازنة؟

دراسة: تناول القهوة يوميا يخفض خطر الإصابة بالاضطرابات النفسية

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء روس يخططون لبناء منشأة للكشف عن المادة المظلمة

ثاني أكسيد الكربون ليس تهديدا للمناخ فقط.. بل لصحة الإنسان أيضا!

ديدان الأرض تكشف تلوث التربة بالمعادن الثقيلة

خبير أرصاد جوية: ظاهرة النينيو القادمة قد تكون الأقوى خلال 10 سنوات

المزيد