Following Ramanujan (1913-1914), write

(1)

(2)

These satisfy the equalities

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

 and  can be derived using the theory of modular functions and can always be expressed as roots of algebraic equations when  is rational. They are related to the Weber functions.

For simplicity, Ramanujan tabulated  for  even and  for  odd. However, (6) allows  and  to be solved for in terms of  and , giving

			(7)
			(8)

Using (◇) and the above two equations allows  to be computed in terms of  or 

(9)

In terms of the parameter  and complementary parameter ,

			(10)
			(11)

Here,

(12)

is the elliptic lambda function, which gives the value of  for which

(13)

Solving for  gives

			(14)
			(15)

Solving for  and  directly in terms of  then gives

			(16)
			(17)

Analytic values for small values of  can be found in Ramanujan (1913-1914) and Borwein and Borwein (1987), and have been compiled by Weisstein. Ramanujan (1913-1914) contains a typographical error labeling  as .

REFERENCES:

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.

Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to ." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد