There are at least two statements which go by the name of Artin's conjecture.

If  is any complex finite-dimensional representation of the absolute Galois group of a number field, then Artin showed how to associate an -series  with it. These -series directly generalize zeta functions and Dirichlet -series, and as a result of work by Richard Brauer,  is known to extend to a meromorphic function on the complex plane. Artin's conjecture predicts that it is in fact holomorphic, i.e., has no poles, with the possible exception of a pole at (Artin 1923/1924). Compare with the generalized Riemann hypothesis, which deals with the locations of the zeros of certain -series.

The second conjecture states that every integer not equal to  or a square number is a primitive root modulo  for infinitely many  and proposes a density for the set of such  which are always rational multiples of a constant known as Artin's constant. There is an analogous theorem for functions instead of numbers which has been proved by Billharz (Shanks 1993, p. 147).

REFERENCES:

Artin, E. "Über eine neue Art von -Reihen." Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 3, 89-108, 1923/1924.

Matthews, K. R. "A Generalization of Artin's Conjecture for Primitive Roots." Acta Arith. 29, 113-146, 1976.

Moree, P. "A Note on Artin's Conjecture." Simon Stevin 67, 255-257, 1993.

Ram Murty, M. "Artin's Conjecture for Primitive Roots." Math. Intell. 10, 59-67, 1988.

Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 31, 80-83, and 147, 1993.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

أهالي كربلاء يحيون اليوم السابع لذكرى شهادة الإمام الحسين (عليه السلام)

مشروع أمير القراء الوطني يشهد مشاركة أكثر من 100 طالبٍ في مرحلته الثالثة

قسم الشؤون الفكرية يصدر دليلًا يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يعلن عن توفير عددٍ من المكتبات الإلكترونية المتخصّصة للمؤسّسات الدينية والمكتبات العامّة

المزيد

الآخبار الصحية

نصائح عملية للحد من التعرق المفرط في الصيف

أطباء يحذرون: مكمل غذائي شائع قد يدمر الجهاز العصبي

تحذير طبي من تأثير جانبي "غير متوقع" لحقن التخسيس

حمامات الثلج قد تكون خطيرة وأحيانا مميتة.. ما السبب؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أكبر جدارية شمسية في العالم تدخل موسوعة غينيس.. مشروع ضخم

تسارع دوران الأرض يثير القلق.. وتحذيرات من "كوارث محتملة" ؟

"سوذبيز" تطرح أكبر قطعة من المريخ على الأرض في مزاد علني

أوبن أيه آي تعتزم إطلاق متصفح إنترنت يعمل بالذكاء الاصطناعي

المزيد