Riemann-Siegel Functions

 

Min   Max       Re       Im

For a real positive , the Riemann-Siegel  function is defined by

(1)

This function is sometimes also called the Hardy function or Hardy -function (Karatsuba and Voronin 1992, Borwein et al. 1999). The top plot superposes  (thick line) on , where  is the Riemann zeta function.

Min Max

Min   Max       Re       Im

For real , the Riemann-Siegel theta function  is defined as

			(2)
			(3)

The function  has local extrema at  (OEIS A114865 and A114866).

Values  such that

(4)

for , 1, ... are known as Gram points (Edwards 2001, pp. 125-126).

The series expansion of  about 0 is given by

			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A067626), and about  by

(8)

(OEIS A036282 and A114721; Edwards 2001, p. 120).

These functions are implemented in the Wolfram Language as RiemannSiegelZ[z] and RiemannSiegelTheta[z].

---

REFERENCES:

Berry, M. V. "The Riemann-Siegel Expansion for the Zeta Function: High Orders and Remainders." Proc. Roy. Soc. London A 450, 439-462, 1995.

Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; and Crandall, R. E. "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function." J. Comput. Appl. Math. 121, 247-296, 2000.

Brent, R. P. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip." Math. Comput. 33, 1361-1372, 1979.

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Karatsuba, A. A. and Voronin, S. M. The Riemann Zeta-Function. Hawthorn, NY: de Gruyter, 1992.

Odlyzko, A. M. "The th Zero of the Riemann Zeta Function and 70 Million of Its Neighbors." Preprint.

Sloane, N. J. A. Sequences A036282, A114721, A114865, and A114866 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Titchmarsh, E. C. The Theory of the Riemann Zeta Function, 2nd ed. New York: Clarendon Press, 1987.

van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; and Winter, D. T. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip. IV." Math. Comput. 46, 667-681, 1986.

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 143, 1991.

 

الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل

تكامل ثلاثي Triple Integration

قاعدة السلسلة Chain Rule

تكامل بالكسور الجزئية Integration by partid Fractions

معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانيين Product Rule of Derivatives

دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية : POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS

تكامل ثنائي Double Integration

تعريف النهاية : DENFINITION OF LIMIT

المفاهيم الأساسية للدوال الحقيقية FUNDAMENTAL CONEPT OF REAL FUNCTIONS

نقطة الانعطاف Point Of Inflection

النهايات عند ما لا نهاية : LIMITS AT INFINITY

تكامل معتل Improper Integral

Minimum

تفاضل جزئي Partial Differentiation

نقطة الانعطاف الافقي Horizontal Point Of Inflection

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

ضمن جهوده المتواصلة.. قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة غسل وتنظيف لمحيط العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يختتم مسابقة نجم الأئمة (عليهم السلام) بنسختها الخامسة في بغداد

المجمع العلمي يواصل الختمة القرآنية الرمضانية المرتلة حفظًا في مقام الإمام المهدي (عجَّل الله فرجه)

الحلقة 26 من جائزة العميد القرآنية تشهد مشاركة 5 قراء من الفتية ضمن المرحلة النهائية

المزيد

الآخبار الصحية

كوب قبل النوم.. مشروب طبيعي يحارب الأرق

دون أدوية.. طريقة طبيعية لخفض ضغط الدم بفعالية مذهلة

المعكرونة ليست عدوك.. كيف تصبح جزءا من وجبة صحية متوازنة؟

دراسة: تناول القهوة يوميا يخفض خطر الإصابة بالاضطرابات النفسية

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء روس يخططون لبناء منشأة للكشف عن المادة المظلمة

ثاني أكسيد الكربون ليس تهديدا للمناخ فقط.. بل لصحة الإنسان أيضا!

ديدان الأرض تكشف تلوث التربة بالمعادن الثقيلة

خبير أرصاد جوية: ظاهرة النينيو القادمة قد تكون الأقوى خلال 10 سنوات

المزيد

مواضيع ذات صلة

مشتق الدوال الثابتة : Differntiation Of Constant Functions

اشتقاق جمع وطرح الدوال : Differentiation of Sums and Differences

معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

ضبط رموز المشتقات : Notations For Derivatives

تعريف مشتق الدالة عند نقطة : DEFINTION OF DERIVATIVE OF FUNCTION IN POINT

الاشتقاق والتفاضل على (IR) DIFFERENTIATION AND DERIVATIVES IN IR

معادلة خط المستقيم المماس للمنحني : TANGENT LINES

نظرية القيم الوسطى : THE INTERMEDIATE – VALUE THEOREN

القيم العظمى والصغرى : EXTREMA – MAXIMA AND MINIMA

دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية : POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS

الاستمرارية: continuity

اتصال الدوال والاستمرارية CONTINUITY OF FUNCTIONS