Riemann-Siegel Functions

 

Min   Max       Re       Im

For a real positive , the Riemann-Siegel  function is defined by

(1)

This function is sometimes also called the Hardy function or Hardy -function (Karatsuba and Voronin 1992, Borwein et al. 1999). The top plot superposes  (thick line) on , where  is the Riemann zeta function.

Min Max

Min   Max       Re       Im

For real , the Riemann-Siegel theta function  is defined as

			(2)
			(3)

The function  has local extrema at  (OEIS A114865 and A114866).

Values  such that

(4)

for , 1, ... are known as Gram points (Edwards 2001, pp. 125-126).

The series expansion of  about 0 is given by

			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A067626), and about  by

(8)

(OEIS A036282 and A114721; Edwards 2001, p. 120).

These functions are implemented in the Wolfram Language as RiemannSiegelZ[z] and RiemannSiegelTheta[z].

---

REFERENCES:

Berry, M. V. "The Riemann-Siegel Expansion for the Zeta Function: High Orders and Remainders." Proc. Roy. Soc. London A 450, 439-462, 1995.

Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; and Crandall, R. E. "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function." J. Comput. Appl. Math. 121, 247-296, 2000.

Brent, R. P. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip." Math. Comput. 33, 1361-1372, 1979.

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Karatsuba, A. A. and Voronin, S. M. The Riemann Zeta-Function. Hawthorn, NY: de Gruyter, 1992.

Odlyzko, A. M. "The th Zero of the Riemann Zeta Function and 70 Million of Its Neighbors." Preprint.

Sloane, N. J. A. Sequences A036282, A114721, A114865, and A114866 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Titchmarsh, E. C. The Theory of the Riemann Zeta Function, 2nd ed. New York: Clarendon Press, 1987.

van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; and Winter, D. T. "On the Zeros of the Riemann Zeta Function in the Critical Strip. IV." Math. Comput. 46, 667-681, 1986.

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 143, 1991.

 

الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل

تكامل ثلاثي Triple Integration

قاعدة السلسلة Chain Rule

تكامل بالكسور الجزئية Integration by partid Fractions

معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانيين Product Rule of Derivatives

دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية : POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS

تكامل ثنائي Double Integration

نقطة الانعطاف Point Of Inflection

تكامل معتل Improper Integral

تعريف النهاية : DENFINITION OF LIMIT

تفاضل جزئي Partial Differentiation

نقطة الانعطاف الافقي Horizontal Point Of Inflection

Minimum

المفاهيم الأساسية للدوال الحقيقية FUNDAMENTAL CONEPT OF REAL FUNCTIONS

النهايات عند ما لا نهاية : LIMITS AT INFINITY

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق باقة من النشاطات الرقمية الخاصة بشهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تختتم السلسلة الأولى لمشروع المحاضرات القرآنية العاشورائية في بابل

العتبة العباسية المقدسة تسلّم راية العزاء إلى تجمّع مواكب محافظة الديوانية

قسم الشؤون الفكرية يواصل إقامة المجالس الحسينية ضمن سلسلة (بيوت النعيم)

المزيد

الآخبار الصحية

تناول الجبن.. مفيد للجسم أم خطر يهدد صحتك؟

طبيبة أسنان تحذر.. لا تتجاهل هذه العلامة بعد التنظيف

يجب أن تأكل المزيد من الشمام هذا الصيف.. إليك السبب ؟

تأثير صحي كبير.. كم بيضة يجب أن تتناول يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أداء خلايا البيروفسكايت الشمسية تحت الماء قد يزيد كفاءة تحويل الكهرباء

مسافة الأمان: أساس القيادة الآمنة وتجنب الحوادث

هل القيادة السريعة تعني استهلاك اكثر للوقود؟

لماذا يعتبر كوكب المريخ غير صالح للحياة؟

المزيد

مواضيع ذات صلة

مشتق الدوال الثابتة : Differntiation Of Constant Functions

اشتقاق جمع وطرح الدوال : Differentiation of Sums and Differences

معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

ضبط رموز المشتقات : Notations For Derivatives

تعريف مشتق الدالة عند نقطة : DEFINTION OF DERIVATIVE OF FUNCTION IN POINT

الاشتقاق والتفاضل على (IR) DIFFERENTIATION AND DERIVATIVES IN IR

معادلة خط المستقيم المماس للمنحني : TANGENT LINES

نظرية القيم الوسطى : THE INTERMEDIATE – VALUE THEOREN

القيم العظمى والصغرى : EXTREMA – MAXIMA AND MINIMA

دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية : POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS

الاستمرارية: continuity

اتصال الدوال والاستمرارية CONTINUITY OF FUNCTIONS