Superstructure

In nonstandard analysis, the limitation to first-order analysis can be avoided by using a construction known as a superstructure. Superstructures are constructed in the following manner. Let  be an arbitrary set whose elements are not sets, and call the elements of  "individuals." Define inductively a sequence of sets with  and, for each natural number ,

and let

Then  is called the superstructure over . An element of  is an entity of .

Using the definition of ordered pair provided by Kuratowski, namely {{a},{a,b}}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Superstructure/Inline9.svg" style="height:22px; width:155px" />, it follows that  for any . Therefore, , and for any function  from  into , we have . Now assume that the set  is (in one-to-one correspondence with) the set of real numbers , and then the relation  which describes continuity of a function at a point is a member of . Careful consideration shows that, in fact, all the objects studied in classical analysis over  are entities of this superstructure. Thus, first-order formulas about  are sufficient to study even what is normally done in classical analysis using second-order reasoning.

To do nonstandard analysis on the superstructure , one forms an ultrapower of the relational structure . Los' theorem yields the transfer principle of nonstandard analysis.

---

REFERENCES

Albeverio, S.; Fenstad, J.; Hoegh-Krohn, R.; and Lindstrøom, T. Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics. New York: Academic Press, p. 16, 1986.

Hurd, A. E. and Loeb, P. A. Ch. 3 in An Introduction to Nonstandard Real Analysis. New York: Academic Press, 1985.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

سماحة السيد الصافي يكرم عددًا من عوائل الشهداء ضمن فعاليات مهرجان روح النبوة النسوي العالمي الثامن

إحدى أمهات الشهداء: نعتز بتضحيات أبنائنا ونفتخر بشهادتهم دفاعًا عن الدين والمقدسات

ضمن فعاليات مهرجان روح النبوة… عرض فيلم يوثق نشاطات الشعب النسوية في العتبة العباسية المقدسة

فعاليات مهرجان روح النبوة الثقافي تشهد تقديم أوبريت الثقلين القرآني

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد

مواضيع ذات صلة

Lemma

Proof

Zeno,s Paradoxes

Unexpected Hanging Paradox

Strange Loop

Sorites Paradox

Simpson,s Paradox

Russell,s Antinomy

Paradox

Newcomb,s Paradox

Missing Dollar Paradox

Line Point Picking