The th -statistic  is the unique symmetric unbiased estimator of the cumulant  of a given statistical distribution, i.e.,  is defined so that

(1)

where  denotes the expectation value of  (Kenney and Keeping 1951, p. 189; Rose and Smith 2002, p. 256). In addition, the variance

(2)

is a minimum compared to all other unbiased estimators (Halmos 1946; Rose and Smith 2002, p. 256). Most authors (e.g., Kenney and Keeping 1951, 1962) use the notation  for -statistics, while Rose and Smith (2002) prefer .

The -statistics can be given in terms of the sums of the th powers of the data points as

(3)

then

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

(Fisher 1928; Rose and Smith 2002, p. 256). These can be given by KStatistic[r] in the Mathematica application package mathStatica.

For a sample size , the first few -statistics are given by

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

where  is the sample mean,  is the sample variance, and  is the th sample central moment (Kenney and Keeping 1951, pp. 109-110, 163-165, and 189; Kenney and Keeping 1962).

The variances of the first few -statistics are given by

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)

An unbiased estimator for  is given by

(16)

(Kenney and Keeping 1951, p. 189). In the special case of a normal parent population, an unbiased estimator for  is given by

(17)

(Kenney and Keeping 1951, pp. 189-190).

For a finite population, let a sample size  be taken from a population size . Then unbiased estimators  for the population mean ,  for the population variance ,  for the population skewness , and  for the population kurtosis excess  are

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)

(Church 1926, p. 357; Carver 1930; Irwin and Kendall 1944; Kenney and Keeping 1951, p. 143), where  is the sample skewness and  is the sample kurtosis excess.

REFERENCES:

Carver, H. C. (Ed.). "Fundamentals of the Theory of Sampling." Ann. Math. Stat. 1, 101-121, 1930.

Church, A. E. R. "On the Means and Squared Standard-Deviations of Small Samples from Any Population." Biometrika 18, 321-394, 1926.

Fisher, R. A. "Moments and Product Moments of Sampling Distributions." Proc. London Math. Soc. 30, 199-238, 1928.

Halmos, P. R. "The Theory of Unbiased Estimation." Ann. Math. Stat. 17, 34-43, 1946.

Irwin, J. O. and Kendall, M. G. "Sampling Moments of Moments for a Finite Population." Ann. Eugenics 12, 138-142, 1944.

Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.

Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "The -Statistics." §7.9 in Mathematics of Statistics, Pt. 1, 3rd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 99-100, 1962.

Rose, C. and Smith, M. D. "k-Statistics: Unbiased Estimators of Cumulants." §7.2C in Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag, pp. 256-259, 2002.

Stuart, A.; and Ord, J. K. Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol. 2A: Classical Inference & the Linear Model, 6th ed. New York: Oxford University Press, 1999.

Ziaud-Din, M. "Expression of the k-Statistics  and  in Terms of Power Sums and Sample Moments." Ann. Math. Stat. 25, 800-803, 1954.

Ziaud-Din, M. "The Expression of -Statistic  in Terms of Power Sums and Sample Moments." Ann. Math. Stat. 30, 825-828, 1959.

Ziaud-Din, M. and Ahmad, M. "On the Expression of the -Statistic  in Terms of Power Sums and Sample Moments." Bull. Internat. Stat. Inst. 38, 635-640, 1960.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد