For a braid with  strands,  components,  positive crossings, and  negative crossings,

{P-N<=U_++M-R if P>=N; P-N<=U_-+M-R if P<=N, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Slice-BennequinInequality/NumberedEquation1.gif" style="height:41px; width:197px" />

(1)

where  are the smallest number of positive and negative crossings which must be changed to crossings of the opposite sign. These inequalities imply Bennequin's conjecture. This inequality can also be extended to arbitrary knot diagrams.

Menasco (1994) published a purported purely three-dimensional proof of the theorem that was discussed in Cipra (1994) and Menasco and Rudolph (1995). However, a hole in the proof was subsequently discovered by Otal. The hole has not yet been patched up, so the only proof of the inequality is the one due to Rudolph (1993), building on work by Kronheimer and Mrowka in four-dimensional topology.

REFERENCES:

Cipra, B. "From Knot to Unknot." What's Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 8-13, 1994.

Kronheimer, P. B. and Mrowka, T. S. "Recurrence Relations and Asymptotics for Four-Manifold Invariants." Bull. Amer. Math. Soc. 30, 215-221, 1994.

Menasco, W. W. "The Bennequin-Milnor Unknotting Conjectures." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 318, 831-836, 1994.

Menasco, W. W. and Rudolph, L. "How Hard Is It to Untie a Knot?" Amer. Sci. 83, 38-49, 1995.

Rudolph, L. "Quasipositivity as an Obstruction to Sliceness." Bull. Amer. Math. Soc. 29, 51-59, 1993.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة مشاتل الكفيل: نعتمد مبيدات ذات جودة عالية لعلاج النباتات المصابة

قسم شؤون المعارف يستعرض موسوعة (الأُصول الرجاليَّة الأربعة)

دار علوم نهج البلاغة تقيم محفلها الأسبوعي في بغداد

قسم التطوير ومدينة الفردوس يبحثان آفاق التعاون في مجال التدريب

المزيد

الآخبار الصحية

المشمش المجفف.. كنز صحي للقلب والعظام مع تحذيرات مهمة

خطر خفي في أكياس الشاي يثير مخاوف صحية

نظام غذائي شائع يظهر نتائج واعدة لمرضى السكري

تقنية نانوية روسية تشخص النوبة القلبية خلال 6 دقائق فقط

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة جديدة تكشف التركيب الحقيقي لكوكب الأرض

علماء يكتشفون انخفاض صلابة الألماس عند تحويله إلى مقياس نانوي

ثورة في علاج الصمم.. علاج جيني يحقق نتائج استثنائية في استعادة السمع

منهج جديد باستخدام الساعات الذرية يعيد طرح سؤال: ما طبيعة الزمن؟

المزيد