Let  be any complete lattice. Suppose  is monotone increasing (or isotone), i.e., for all ,  implies . Then the set of all fixed points of  is a complete lattice with respect to  (Tarski 1955)

Consequently,  has a greatest fixed point  and a least fixed point . Moreover, for all ,  implies , whereas  implies .

Consider three examples:

1. Let  satisfy , where  is the usual order of real numbers. Since the closed interval  is a complete lattice, every monotone increasing map  has a greatest fixed point and a least fixed point. Note that  need not be continuous here.

2. For  declare  to mean that , ,  (coordinatewise order). Let  satisfy . Then the set

		{x in R^n:a<=x<=b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/TarskisFixedPointTheorem/Inline31.gif" style="height:15px; width:109px" />	(1)
			(2)

is a complete lattice (with respect to the coordinatewise order). Hence every monotone increasing map  has a greatest fixed point and a least fixed point.

3. Let  and  be injections. Then there is a bijection  (Schröder-Bernstein theorem), which can be constructed as follows. The power set of  ordered by set inclusion, , is a complete lattice. Since the map ,

(3)

is monotone increasing, it has a fixed point . As , a bijection  can be defined just by setting

(4)

REFERENCES:

Tarski, A. "A Lattice-Theoretical Fixpoint Theorem and Its Applications." Pacific J. Math. 5, 285-309, 1955.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يقيم برنامجًا قرآنيًّا رمضانيًّا في جامعة الكوفة

الحلقة 21 من جائزة العميد القرآنية تشهد تأهل القارئ محمد حسن زاده من أفغانستان إلى المرحلة النهائية

موكب أهالي كربلاء يحيي ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام) عند مرقده الطاهر

لليوم الثالث.. شعبة الخطابة تنظم مجالس العزاء لإحياء ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

تأثير اللياقة البدنية على الدماغ

تجربة سريرية تظهر فوائد اللوز للمصابين بالسمنة

اكتشاف طريقة غير متوقعة لتقليل خطر الإصابة بالسكري

خمسة مؤشرات صحية مهملة قد تنقذ حياتك

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء الجيولوجيا يفكون لغز الصدع العملاق تحت الماء في المحيط الأطلسي

تحذير جديد: الاحترار العالمي يتسارع وقد نكسر حاجز 1.5 درجة قبل 2030

الصين تكشف عن ألياف كربون تفوق قوة الفولاذ بـ10 مرات

الجهاز المناعي يظهر دورا غير متوقع في صحة العظام

المزيد