سبق وأن تطرقنا في المواضيع السابقة مفاهيم كثيرة كطول المتجه والزاوية المحصورة بين المتجهات في Rⁿ باستخدام ضرب المتجهات النقطي. في هذا الفصل سندرس هذه المفاهيم في فضاء المتجهات وبشكل أكثر عمومية.

تعريف (1-1):

الضرب الداخلي على V هو دالة ترفق العدد الحقيقي <u,v> مع زوج من المتجهات v, u في V بطريقة بحيث تتحقق الشروط الآتية:

ملاحظة:

(1) فضاء المتجهات الحقيقي مع الضرب الداخلي يسمى فضاء الضرب الداخلي الحقيقي.

(2) إذا كانت v = (v₁, v₂, …. , v_n)  و  u = u₁, u₂, … , u_n) متجهات في Rⁿ فإن الصيغة:

تعرف الضرب الداخلي على Rⁿ.

تعريف (1-2) :

لتكن V فضاء الضرب الداخلي فإن طول المتجه u في V يعرف بالشكل:

أما المسافة بين المتجهين u,v ، تكتب d(v , u) ، فتعرف

وقابلة للانعكاس. فإذا كان u . v هو ضرب داخلي إقليدي على Rⁿ فإن الصيغة:

تعرف الضرب الداخلي المسمى الضرب الداخلي على R" المتولد بواسطة A. يمكن كتابة الصيغة أعلاه بالشكل:

مثال(1):

من المعروف في الهندسة الاقليدية أن مجموع طولي ضلعين في مثلث أصغر أو تساوي طول الضلع الثالث كما وأن مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات الجوانب الأربعة (لاحظ الشكل (1-1) ).

                                           شكل (1-1)

أما كرة الوحدة في هذا الفضاء فتعرف بأنها مجموعة جميع المصفوفات سعة 2 x 2 والتي عناصرها تحقق المعادلة ||V|| = 1، أي

مثال(2)

تمثل تعريف الضرب الداخلي على P₂

أما طول متعددة الحدود نسبة لهذا الضرب الداخلي فيعرف

كرة الوحدة في هذا الفضاء تتكون من جميع متعددات الحدود p و p₂ التي تحقق  ||P|| = 1 او 

مثال(3):

لتكن f(x) g(x) , دوال مستمرة على الفترة [a, b] فإن <f,g> المعرفة:

يمثل ضرب داخلي على [a, b].

لكي نبرهن أن <f(x),g(x)> ضرب داخلي يجب أن تحقق شروط التعريف (1-1):

لاحظ ان طول المنحني y = f(x) على الفترة [a, b] يختلف عن طول المتجه f(x) على [a, b] حيث أن طول المنحني هو

لذا فإن الصيغة (4) تختلف عن الصيغة (5).

مبرهنة (1-3):

(خواص فضاء الضرب الداخلي الحقيقي).

لتكن w, u, v ثلاث متجهات في فضاء الضرب الداخلي الحقيقي و k كمية ثابتة، فإن

البرهان:

نبرهن الحالة الثانية.

مثال(4):

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي

أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات -تمارين محلولة