In practice, the vertical offsets from a line (polynomial, surface, hyperplane, etc.) are almost always minimized instead of the perpendicular offsets. This provides a fitting function for the independent variable  that estimates  for a given  (most often what an experimenter wants), allows uncertainties of the data points along the - and -axes to be incorporated simply, and also provides a much simpler analytic form for the fitting parameters than would be obtained using a fit based on perpendicular offsets.

The residuals of the best-fit line for a set of  points using unsquared perpendicular distances  of points  are given by

(1)

Since the perpendicular distance from a line  to point  is given by

(2)

the function to be minimized is

(3)

Unfortunately, because the absolute value function does not have continuous derivatives, minimizing  is not amenable to analytic solution. However, if the square of the perpendicular distances

(4)

is minimized instead, the problem can be solved in closed form.  is a minimum when

(5)

and

(6)

The former gives

			(7)
			(8)

and the latter

(9)

But

			(10)
			(11)

so (10) becomes

	(12)
	(13)
	(14)

Plugging (◇) into (14) then gives

(15)

After a fair bit of algebra, the result is

(16)

So define

			(17)
			(18)

and the quadratic formula gives

(19)

with  found using (◇). Note the rather unwieldy form of the best-fit parameters in the formulation. In addition, minimizing  for a second- or higher-order polynomial leads to polynomial equations having higher order, so this formulation cannot be extended.

REFERENCES:

Sardelis, D. and Valahas, T. "Least Squares Fitting-Perpendicular Offsets." https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5292/.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خريجات من لبنان: المشاركة في حفل تخرّج بنات الكفيل مسؤولية أخلاقية ورسالة علمية ودينية

العتبة العباسية المقدسة تعلن نجاح خطة نقل المشاركات في حفل تخرج الطالبات من كربلاء إلى محافظاتهن

عوائل الشهداء: العتبة العباسية المقدسة لم تنسَ شهداء العراق وتضحياتهم

مشاركات من البحرين والسعودية: حفل تخرج بنات الكفيل يعبّر عن اهتمام العتبة العباسية المقدسة بالطالبات الخريجات

المزيد

الآخبار الصحية

خبراء تغذية يكشفون أفضل الطرق الصحية لطهي البيض

كيف يؤثر الرمان على صحة قلبك وذاكرتك وبشرتك؟

تبييض الأسنان.. تحذير من منتجات "خطيرة" تباع عبر الإنترنت

الإنفلونزا المزمنة.. تهديد "خطير" للقلب والدماغ ؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

التشتت أثناء القيادة: خطر القيادة العمياء وحلول الوقاية

بمنافس جديد.. إيلون ماسك يتحدى "ويكيبيديا"

الذكاء الاصطناعي ينافس الأطباء في منع السكري قبل ظهوره ؟!

لماذا تعجز عن التركيز صباحا؟ دراسة تكشف السبب "الخفي"

المزيد