In practice, the vertical offsets from a line (polynomial, surface, hyperplane, etc.) are almost always minimized instead of the perpendicular offsets. This provides a fitting function for the independent variable  that estimates  for a given  (most often what an experimenter wants), allows uncertainties of the data points along the - and -axes to be incorporated simply, and also provides a much simpler analytic form for the fitting parameters than would be obtained using a fit based on perpendicular offsets.

The residuals of the best-fit line for a set of  points using unsquared perpendicular distances  of points  are given by

(1)

Since the perpendicular distance from a line  to point  is given by

(2)

the function to be minimized is

(3)

Unfortunately, because the absolute value function does not have continuous derivatives, minimizing  is not amenable to analytic solution. However, if the square of the perpendicular distances

(4)

is minimized instead, the problem can be solved in closed form.  is a minimum when

(5)

and

(6)

The former gives

			(7)
			(8)

and the latter

(9)

But

			(10)
			(11)

so (10) becomes

	(12)
	(13)
	(14)

Plugging (◇) into (14) then gives

(15)

After a fair bit of algebra, the result is

(16)

So define

			(17)
			(18)

and the quadratic formula gives

(19)

with  found using (◇). Note the rather unwieldy form of the best-fit parameters in the formulation. In addition, minimizing  for a second- or higher-order polynomial leads to polynomial equations having higher order, so this formulation cannot be extended.

REFERENCES:

Sardelis, D. and Valahas, T. "Least Squares Fitting-Perpendicular Offsets." https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5292/.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق باقة من النشاطات الرقمية الخاصة بشهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تختتم السلسلة الأولى لمشروع المحاضرات القرآنية العاشورائية في بابل

العتبة العباسية المقدسة تسلّم راية العزاء إلى تجمّع مواكب محافظة الديوانية

قسم الشؤون الفكرية يواصل إقامة المجالس الحسينية ضمن سلسلة (بيوت النعيم)

المزيد

الآخبار الصحية

تناول الجبن.. مفيد للجسم أم خطر يهدد صحتك؟

طبيبة أسنان تحذر.. لا تتجاهل هذه العلامة بعد التنظيف

يجب أن تأكل المزيد من الشمام هذا الصيف.. إليك السبب ؟

تأثير صحي كبير.. كم بيضة يجب أن تتناول يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أداء خلايا البيروفسكايت الشمسية تحت الماء قد يزيد كفاءة تحويل الكهرباء

مسافة الأمان: أساس القيادة الآمنة وتجنب الحوادث

هل القيادة السريعة تعني استهلاك اكثر للوقود؟

لماذا يعتبر كوكب المريخ غير صالح للحياة؟

المزيد