A class of formal series expansions in derivatives of a distribution  which may (but need not) be the normal distribution function

(1)

and moments or other measured parameters. Edgeworth series are known as the Charlier series or Gram-Charlier series. Let  be the characteristic function of the function , and  its cumulants. Similarly, let  be the distribution to be approximated,  its characteristic function, and  its cumulants. By definition, these quantities are connected by the formal series

(2)

(Wallace 1958). Integrating by parts gives  as the characteristic function of , so the formal identity corresponds pairwise to the identity

(3)

where  is the differential operator. The most important case  was considered by Chebyshev (1890), Charlier (1905-06), and Edgeworth (1905).

Expanding and collecting terms according to the order of the derivatives gives the so-called Gram-Charlier A-Series, which is identical to the formal expansion of  in Hermite polynomials. The A-series converges for functions  whose tails approach zero faster than  (Cramér 1925, Wallace 1958, Szegö 1975).

REFERENCES:

Charlier, C. V. L. "Über das Fehlergesetz." Ark. Math. Astr. och Phys. 2, No. 8, 1-9, 1905-06.

Chebyshev, P. L. "Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités." Acta Math. 14, 305-315, 1890.

Cramér, H. "On Some Classes of Series Used in Mathematical Statistics." Proceedings of the Sixth Scandinavian Congress of Mathematicians, Copenhagen. pp. 399-425, 1925.

Edgeworth, F. Y. "The Law of Error." Cambridge Philos. Soc. 20, 36-66 and 113-141, 1905.

Gram, J. P. "Über die Entwicklung reeler Funktionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate." J. reine angew. Math. 94, 41-73, 1883.

Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.

Wallace, D. L. "Asymptotic Approximations to Distributions." Ann. Math. Stat. 29, 635-654, 1958.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يقيم برنامجًا قرآنيًّا رمضانيًّا في جامعة الكوفة

الحلقة 21 من جائزة العميد القرآنية تشهد تأهل القارئ محمد حسن زاده من أفغانستان إلى المرحلة النهائية

موكب أهالي كربلاء يحيي ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام) عند مرقده الطاهر

لليوم الثالث.. شعبة الخطابة تنظم مجالس العزاء لإحياء ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

تأثير اللياقة البدنية على الدماغ

تجربة سريرية تظهر فوائد اللوز للمصابين بالسمنة

اكتشاف طريقة غير متوقعة لتقليل خطر الإصابة بالسكري

خمسة مؤشرات صحية مهملة قد تنقذ حياتك

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء الجيولوجيا يفكون لغز الصدع العملاق تحت الماء في المحيط الأطلسي

تحذير جديد: الاحترار العالمي يتسارع وقد نكسر حاجز 1.5 درجة قبل 2030

الصين تكشف عن ألياف كربون تفوق قوة الفولاذ بـ10 مرات

الجهاز المناعي يظهر دورا غير متوقع في صحة العظام

المزيد