تعد طريقة العناصر المنتهية The finite element method أسلوباً عددياً لحل جملة المعادلات التفاضلية العادية أو الجزئية، وتعتمد على فكرة تقسيم الوسط المدروس إلى عدد من الأجزاء أو العناصر elements. ويمكن استنتاج سلوك الوسط المستمر الذي تحكمه جملة المعادلات التفاضلية الجزئية أو الكلية المدروسة من التجميع المباشر للحلول العددية للأجزاء أو (العناصر) المشكَّلة له.
لمحة تاريخية
وُضِعَتِ الأسس الرياضية لنظرية المرونة في القرنين السابع عشر والثامن عشر على يد علماء مثل هوك Hook وأويلر Euler ولاغرانج Lagrange وبرنولي Bernoulli والذين ركزوا الاهتمام على علاقات (الإجهاد ـ التشوه)، وعلى استخراج حلول للمعادلات التفاضلية الحاكمة لمرونة الأجسام اعتماداً على مبادئ الطاقة. وفي القرن التاسع عشر أسهم علماء ومهندسون مثل نافيير Navier وسانت فينانت Saint Venant - وإيري Airy وماكسويل Maxwell وكاستيليانو Castigliano ومور Mohr في تطوير تطبيقات نظرية الإنشاءات استناداً إلى المبادئ الرياضية التي وُضِعَتْ سابقا، وانحصرت التطبيقات الأساسية في إيجاد حلول مباشرة لفئة صغيرة من المنشآت ذات الشكل الهندسي البسيط. لأن حلول التطبيقات الأكثر تعقيداً تقتضي مقدرة حسابية لم تكن متوافرة آنذاك.
وفي القرن العشرين توجه الاهتمام منذ النصف الأول إلى تطوير مختلف الطرق غير المباشرة لحل فئات معينة من المنشآت أهمها المنشآت الهيكلية المكوَّنة من جوائز وقضبان يتصل ببعضها ببعض لتشكِّل جوائز مستمرة وإطارات مستوية وفراغية، وكان أحد التطورات الجديرة بالاهتمام في هذا المجال استخدام ماني Maney معادلات (الميل ـ السهم) slope-deflection لحل المنشآت الهيكلية، وعلى الرغم من أن هذه الطريقة صالحة لتحليل منشآت هيكلية معقدة إلا أنه كان من المتعذر عملياً حل جمل المعادلات الآنية الكبيرة الناتجة من مثل هذه المنشآت قبل اختراع الحاسوب الإلكتروني، وهنا كان أحد الدوافع وراء تطوير العالم هاردي كروس Hardy Cross لطريقة توزيع العزوم الشهيرة التي استعاضت عن الحل المباشر لجملة المعادلات الخطية بحل تكراري عددي مناسب للحساب اليدوي، وقد سيطرت طريقة توزيع العزوم على الحساب الإنشائي سيطرةً شِبْهَ كاملة حتى دخل الحاسوب الإلكتروني في مجال التطبيق في الهندسة المدنية وأدخل تغييراً جذرياً في منهجية الحل الإنشائي وأولوياته، وذلك منذ منتصف القرن العشرين.
يصعب تحديد المنشأ الحقيقي لطريقة العناصر المنتهية، إلا أن أول من استعمل تعبير (عنصر منتهي) finite element هو كلوف Clough في عام 1960، ثم شهدت الستينيات تطوراً كبيراً في طريقة العناصر المنتهية رافقت التطور السريع في الحواسيب الإلكترونية. وكان التركيز في تلك الفترة على استخراج عناصر منتهية جديدة متخصصة وتطوير طرق حل عددية مختلفة لحل جمل المعادلات الآنية الكبيرة.
في السبعينيات خرجت طريقة العناصر المنتهية من طور البحث العلمي لتصبح طريقة معتمدة أكاديمياً وفي مجالات متعددة من العلوم الهندسية، وشهدت تلك الفترة تطورات كبيرة في مجال التطبيقات اللاخطية والتطبيقات المتقدمة الأخرى كالتحليل الديناميكي للمنشآت، وشهدت تأسيس عدد كبير من المنشآت العامة للدراسات المتخصصة (الإنشائية وغير الإنشائية)، وقد نال بعضها شهرة دولية، وقامت شركات ومؤسسات علمية خاصة برعاية برامج عناصر منتهية مختلفة التخصص وتطويرها (مثل ADINA وSTRUDL وGENYSIS وSAP وANSYS وETABS وغيرها). وقد استمر تطور طريقة العناصر المنتهية متسارعاً في الثمانينيات والتسعينيات لتصبح الطريقة الأساسية في التحليل والتصميم في كثير من المجالات والتخصصات العلمية.
اهم التطبيقات الحالية لطريقة العناصر المنتهية:
يمكن جَعْلُ طريقة العناصر المنتهية في الوقت الحاضر أسلوباً عاماً للحل العددي لجمل المعادلات التفاضلية الخاضعة للشروط الحدية والابتدائية المناسبة، ويمكن تصنيف التطبيقات الهندسية للطريقة إلى عدد من المجالات من أهمها:
1ـ منشآت الهندسة المدنية: تستخدم طريقة العناصر المنتهية للتحليل الساكن والديناميكي (التحليل الديناميكي يأخذ في الحسبان التغير الزمني للحمولة ضمن فترة التحليل) للجسور والمنشآت الهيكلية ثلاثية الأبعاد والسدود والخزانات وغيرها.
2ـ الصناعات الجوية: يتم تحليل هياكل منشآت الصناعات الجوية كالطائرات والصواريخ والمكوك الفضائي وغيرها بهدف تحديد الإجهادات والتشوهات التي تتعرض لها في أثناء ظروف عملها المختلفة، ومن ثم تطوير تصميم المنشآت لتستطيع تحمل الإجهادات والتشوهات المحسوبة من خلال طريقة العناصر المنتهية.
3ـ هندسة الجيوتكنيك: تستخدم طريقة العناصر المنتهية في تحليل الأنفاق والمنشآت تحت الأرضية underground structures، وكذلك في تحليل تفاعل المنشأ مع التربة المحيطة به soil-structure interaction في أثناء فترة التحميل وتحليل أساسات الآلات الثقيلة والمعقدة وغيرها.
4 ـ ميكانيك السوائل والمنشآت المائية: يمكن باستخدام طريقة العناصر المنتهية تحليل جريان السوائل والمنشآت المعرضة إلى ضغوط مائية كبيرة كالغواصات وغيرها.
5ـ الهندسة النووية: يتم باستخدام طريقة العناصر المنتهية تحليل أبراج التبريد وبقية العناصر الإنشائية المستخدمة في محطات الطاقة النووية.
6ـ الهندسة الميكانيكية: تستخدم طريقة العناصر المنتهية لتحليل هياكل السيارات والآلات الرافعة وآلات الحفر وغيرها.
7 ـ الهندسة الطبية: يمكن بوساطة طريقة العناصر المنتهية إجراء التحليل الإجهادي للأطراف والمفاصل الصناعية وغيرها تحت مختلف حالات العمل، ومن ثمَّ تحديد الحالات الإجهادية التي تتعرض لها تلك الأعضاء بهدف تصميمها تصميماً آمناً يسمح بتحمل الحالة الإجهادية الاستثمارية المتوقعة لهذه الأطراف والمفاصل الصنعية.