The so-called generalized Fourier integral is a pair of integrals--a "lower Fourier integral" and an "upper Fourier integral"--which allow certain complex-valued functions  to be decomposed as the sum of integral-defined functions, each of which resembles the usual Fourier integral associated to  and maintains several key properties thereof.

Let  be a real variable, let  be a complex variable, and let  be a function for which  as , for which  as , and for which  has an analytic Fourier integral where here,  are finite real constants. Next, define the upper and lower generalized Fourier integrals  and  associated to , respectively, by

(1)

and

(2)

on the complex regions  and , respectively. Then, for  and ,

(3)

where the first integral summand equals  for  and is zero for  while the second integral summand is zero for  and equals  for . The decomposition () is called the generalized Fourier integral corresponding to .

Note that some literature defines the upper and lower integrals  and  with multiplicative constants different from , whereby the identity in () may look slightly different.

REFERENCES:

Linton, C. M. and McIver, P. Handbook of Mathematical Techniques for Wave/Structure Interactions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2001.

Noble, B. Methods Based on the Wiener-Hopf Technique For the Solution of Partial Differential Equations. Belfast, Northern Ireland: Pergamon Press, 1958.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الصيانة ينفذ أعمال إدامة لإحدى المدارس في محافظة النجف الأشرف

المجمع العلمي يستأنف الختمة القرآنية الأسبوعية في محافظة الديوانية

حملة تطوير وتأهيل تشهدها مدينة الفردوس الترفيهية استعدادًا لاستقبال العوائل

العتبة العباسية المقدسة تطلق فعاليات مهرجان (ترتيل الرأس) السنوي الثاني في بغداد

المزيد

الآخبار الصحية

لون أسنانك يتحدث عن صحتك.. إليك ما يقول

عادة يومية بسيطة تخفض الكوليسترول وتحمي القلب

الزنجبيل.. دواء سحري لحماية القلب

المشروبات شديدة السخونة.. "خطر خفي" يهدد صحتك

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف يمكن لعادات القيادة السيئة أن تؤثر على قيمة سيارتك

في طوفان الذكاء الاصطناعي.. نصائح لحجز "تذكرة النجاة"

هكذا يسرق "قراصنة الذكاء الاصطناعي" المليارات بطرق بسيطة

فيديو لانفجار كرة نارية في سماء اليابان.. ما تفسير ذلك؟

المزيد