Min   Max       Re       Im

The elliptic lambda function  is a -modular function defined on the upper half-plane by

(1)

where  is the half-period ratio,  is the nome

(2)

and  are Jacobi theta functions.

The elliptic lambda function is essentially the same as the inverse nome, the difference being that elliptic lambda function is a function of the half-period ratio , while the inverse nome is a function of the nome , where  is itself a function of .

It is implemented as the Wolfram Language function ModularLambda[tau].

The elliptic lambda function  satisfies the functional equations

			(3)
			(4)

 has the series expansion

(5)

(OEIS A115977), and  has the series expansion

(6)

(OEIS A029845; Conway and Norton 1979; Borwein and Borwein 1987, p. 117).

 gives the value of the elliptic modulus  for which the complementary  and normal complete elliptic integrals of the first kind  are related by

(7)

i.e., the elliptic integral singular value for . It can be computed from

(8)

where

(9)

and  is a Jacobi theta function.  is related to  by

(10)

For all rational ,  and  are known as elliptic integral singular values, and can be expressed in terms of a finite number of gamma functions (Selberg and Chowla 1967). Values of  for small  include

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)

where

(28)

The algebraic orders of these are given by 2, 2, 4, 2, 8, 4, 4, 4, 8, 4, 12, 4, 8, 8, 8, 4, ... (OEIS A084540).

Some additional exact values are given by

			(29)
			(30)
			(31)
			(32)
			(33)
			(34)

Exact values can also be found for rational , including

			(35)
			(36)
			(37)
			(38)
			(39)
			(40)
			(41)
			(42)
			(43)
			(44)

where  is a polynomial root.

 is related to the Ramanujan g- and G-functions by

			(45)
			(46)

REFERENCES:

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.

Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, pp. 75, 95, and 98, 1961.

Conway, J. H. and Norton, S. P. "Monstrous Moonshine." Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.

Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Sloane, N. J. A. Sequences A029845, A084540, and A115977 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Watson, G. N. "Some Singular Moduli (1)." Quart. J. Math. 3, 81-98, 1932.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الصناعات والحرف الفنية ينفذ أعمالًا تطويرية في جامعة الكفيل

قسم الشؤون الطبية يناقش تحضيراته لحفل التخرج المركزي لطالبات الجامعات العراقية العاشر

مركز الكفيل للإعلان والتسويق يباشر تنفيذ الأعمال الطباعية لحفل تخرج طالبات الجامعات العراقية العاشر

قسم رعاية الصحن يهيئ الأماكن المخصصة لفعاليات حفل تخرج طالبات الجامعات العراقية العاشر

المزيد

الآخبار الصحية

خصوصا مع تقدم السن.. 6 سلوكيات يومية قد تدمّر صحتك

فاكهة خضراء.. علاج طبيعي فعّال للإمساك واضطرابات الهضم

روسيا تبدأ أولى التجارب السريرية للقاح واعد ضد السرطان

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

روسيا تخطط لإقامة محطة نووية في القمر خلال العقد المقبل

كيف قاد إيلون ماسك حملة "غروك" لاختراق عرش الذكاء الاصطناعي

ألتمان: الذكاء الاصطناعي سيتجاوز البشر في 2026 !

المزيد