Successive application of Archimedes' recurrence formula gives the Archimedes algorithm, which can be used to provide successive approximations to  (pi). The algorithm is also called the Borchardt-Pfaff algorithm. Archimedes obtained the first rigorous approximation of  by circumscribing and inscribing -gons on a circle. From Archimedes' recurrence formula, the circumferences  and  of the circumscribed and inscribed polygons are

			(1)
			(2)

where

(3)

For a hexagon,  and

			(4)
			(5)

where . The first iteration of Archimedes' recurrence formula then gives

			(6)
			(7)
			(8)

Additional iterations do not have simple closed forms, but the numerical approximations for , 1, 2, 3, 4 (corresponding to 6-, 12-, 24-, 48-, and 96-gons) are

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

By taking  (a 96-gon) and using strict inequalities to convert irrational bounds to rational bounds at each step, Archimedes obtained the slightly looser result

(14)

REFERENCES:

Miel, G. "Of Calculations Past and Present: The Archimedean Algorithm." Amer. Math. Monthly 90, 17-35, 1983.

Phillips, G. M. "Archimedes in the Complex Plane." Amer. Math. Monthly 91, 108-114, 1984.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

ضمن مجموعة مواكب أم البنين (عليها السلام) العتبة العباسية المقدسة تنهي استعداداتها لافتتاح الموكب الثقافي العام في طريق الزائرين

شعبة التوجيه الديني النسوي تُكمل استعداداتها لاستقبال زائرات الأربعين

المجمع العلمي يفتتح موكب أمير القرّاء في طريق زائري الأربعين للعام الثالث على التوالي

قسم الشؤون الفكرية يعقد اجتماعه الفصلي الثاني لعام 2025م

المزيد

الآخبار الصحية

علامات فارقة بين النوبة أو السكتة القلبية.. ماهي؟

الفلفل الأحمر.. سعرات حرارية منخفضة وفوائد صحية عديدة

8 أعراض إذا شعرت بها.. اذهب للطوارئ فورا !

تعرف على أكثر 8 أماكن اتساخا في المنزل

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إنتاج الهيدروجين الأخضر في البحر.. هذه أحدث الدراسات

"ناسا" تخطط لبناء مفاعل نووي على سطح القمر !

ابتكار ومواهب وأموال.. مارك زوكربيرغ يعلن الحرب على أبل

عودة التعاون الفضائي بين روسيا وأميركا.. وبحث ملفات "هامة"

المزيد