تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Polyhedron Coloring
المؤلف: Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M
المصدر: Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover
الجزء والصفحة: ...
30-3-2022
1692
Define a valid "coloring" to occur when no two faces with a common edge share the same color. Given two colors, there is a single way to color an octahedron (Ball and Coxeter 1987, pp. 238-239). Given three colors, there is one way to color a cube (Ball and Coxeter 1987, pp. 238-239) and 144 ways to color an icosahedron (Ball and Coxeter 1987, pp. 239-242). Given four colors, there are two distinct ways to color a tetrahedron (Ball and Coxeter 1987, p. 238) and four ways to color a dodecahedron, consisting of two enantiomorphous ways (Steinhaus 1999, pp. 196-198; Ball and Coxeter 1987, p. 238). Given five colors, there are four ways to color an icosahedron. Given six colors, there are 30 ways to color a cube (Steinhaus 1999, p. 167). These values are related to the chromatic polynomial of the corresponding dual skeleton graph, which however overcounts since it does not take rotational equivalence of colorings in the original solid into account.
The following table gives the numbers of ways to color faces of various solids using at most colors (with no restriction about colors on adjacent faces). This can be computed by finding the graph automorphisms of the skeleton of the polyhedron, removing the symmetries that invert a face (leaving pure rotational symmetries only), then finding the induced symmetry group for the faces and applying the Pólya enumeration theorem.
solid | polynomial | OEIS | colorings for , 2, ... |
cube | A047780 | 1, 10, 57, 240, 800, 2226, 5390, ... | |
dodecahedron | A000545 | 1, 96, 9099, 280832, 4073375, 36292320, ... | |
icosahedron | A054472 | 1, 17824, 58130055, 18325477888, 1589459765875, ... | |
octahedron | A000543 | 1, 23, 333, 2916, 16725, 70911, 241913, ... | |
tetrahedron | A006008 | 1, 5, 15, 36, 75, 141, 245, 400, 621, ... |
Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, 238-242, 1987.
Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 82-83, 1989.
Sloane, N. J. A. Sequences A000543, A000545, A006008/M3854, A047780/M4716, and A054472 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.