EN

الرئيسية

الأخبار

صور

فيديو

صوت

أقلام

مفتاح

رشفات

مشكاة

منشور

اضاءات

قصص


المرجع الالكتروني للمعلوماتية

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : نظرية البيان :

Polyhedron Coloring

المؤلف:  Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M

المصدر:  Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover

الجزء والصفحة:  ...

30-3-2022

1692

Polyhedron Coloring

Define a valid "coloring" to occur when no two faces with a common edge share the same color. Given two colors, there is a single way to color an octahedron (Ball and Coxeter 1987, pp. 238-239). Given three colors, there is one way to color a cube (Ball and Coxeter 1987, pp. 238-239) and 144 ways to color an icosahedron (Ball and Coxeter 1987, pp. 239-242). Given four colors, there are two distinct ways to color a tetrahedron (Ball and Coxeter 1987, p. 238) and four ways to color a dodecahedron, consisting of two enantiomorphous ways (Steinhaus 1999, pp. 196-198; Ball and Coxeter 1987, p. 238). Given five colors, there are four ways to color an icosahedron. Given six colors, there are 30 ways to color a cube (Steinhaus 1999, p. 167). These values are related to the chromatic polynomial of the corresponding dual skeleton graph, which however overcounts since it does not take rotational equivalence of colorings in the original solid into account.

The following table gives the numbers of ways to color faces of various solids using at most n colors (with no restriction about colors on adjacent faces). This can be computed by finding the graph automorphisms of the skeleton of the polyhedron, removing the symmetries that invert a face (leaving pure rotational symmetries only), then finding the induced symmetry group for the faces and applying the Pólya enumeration theorem.

solid polynomial OEIS colorings for n=1, 2, ...
cube 1/3n^2+1/2n^3+1/8n^4+1/(24)n^6 A047780 1, 10, 57, 240, 800, 2226, 5390, ...
dodecahedron (11)/(15)n^4+1/4n^6+1/(60)n^(12) A000545 1, 96, 9099, 280832, 4073375, 36292320, ...
icosahedron 2/5n^4+1/3n^8+1/4n^(10)+1/(60)n^(20) A054472 1, 17824, 58130055, 18325477888, 1589459765875, ...
octahedron 1/4n^2+(17)/(24)n^4+1/(24)n^8 A000543 1, 23, 333, 2916, 16725, 70911, 241913, ...
tetrahedron (11)/(12)n^2+1/(12)n^4 A006008 1, 5, 15, 36, 75, 141, 245, 400, 621, ...

REFERENCES

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, 238-242, 1987.

Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 82-83, 1989.

Sloane, N. J. A. Sequences A000543, A000545, A006008/M3854, A047780/M4716, and A054472 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي