A fractional ideal is a generalization of an ideal in a ring . Instead, a fractional ideal is contained in the number field , but has the property that there is an element  such that

{bx such that x in f} " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation1.gif" style="height:15px; width:167px" />

(1)

is an ideal in . In particular, every element in  can be written as a fraction, with a fixed denominator.

{a/b such that a in a} " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation2.gif" style="height:15px; width:139px" />

(2)

Note that the multiplication of two fractional ideals is another fractional ideal.

For example, in the field , the set

{(2a_1+a_2-5a_4+(a_2+2a_3+a_4)sqrt(-5))/(3+sqrt(-5)) such that a_i in Z} " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation3.gif" style="height:94px; width:266px" />

(3)

is a fractional ideal because

(4)

Note that , where

{3b_1+b_2-5b_4+(b_2+3b_3+b_4)sqrt(-5) such that b_i in Z}=<3,1+sqrt(-5)>, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation5.gif" style="height:47px; width:258px" />

(5)

and so  is an inverse to .

Given any fractional ideal  there is always a fractional ideal  such that . Consequently, the fractional ideals form an Abelian group by multiplication. The principal ideals generate a subgroup , and the quotient group is called the ideal class group.

REFERENCES:

Atiyah, M. and MacDonald, I. Ch. 9 in Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.

Cohn, H. Introduction to the Construction of Class Fields. New York: Cambridge University Press, p. 32, 1985.

Fröhlich, A. and Taylor, M. Ch. 2 in Algebraic Number Theory. New York: Cambridge University Press, 1991.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم بين الحرمين يقدم ورشة تدريبية عن صيانة العجلات الكهربائية للملاكات الفنية في مدينة الفردوس

مجموعة مشاتل الكفيل تستقبل طلبة مجموعة العميد التربوية

قسم العلاقات العامة ينظم محاضرة ثقافية لوفد مركز الزهراء (عليها السلام) من ألمانيا

المجمع العلمي يحيي ذكرى ولادة الإمام علي (عليه السلام) في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد