A fractional ideal is a generalization of an ideal in a ring . Instead, a fractional ideal is contained in the number field , but has the property that there is an element  such that

{bx such that x in f} " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation1.gif" style="height:15px; width:167px" />

(1)

is an ideal in . In particular, every element in  can be written as a fraction, with a fixed denominator.

{a/b such that a in a} " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation2.gif" style="height:15px; width:139px" />

(2)

Note that the multiplication of two fractional ideals is another fractional ideal.

For example, in the field , the set

{(2a_1+a_2-5a_4+(a_2+2a_3+a_4)sqrt(-5))/(3+sqrt(-5)) such that a_i in Z} " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation3.gif" style="height:94px; width:266px" />

(3)

is a fractional ideal because

(4)

Note that , where

{3b_1+b_2-5b_4+(b_2+3b_3+b_4)sqrt(-5) such that b_i in Z}=<3,1+sqrt(-5)>, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/FractionalIdeal/NumberedEquation5.gif" style="height:47px; width:258px" />

(5)

and so  is an inverse to .

Given any fractional ideal  there is always a fractional ideal  such that . Consequently, the fractional ideals form an Abelian group by multiplication. The principal ideals generate a subgroup , and the quotient group is called the ideal class group.

REFERENCES:

Atiyah, M. and MacDonald, I. Ch. 9 in Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.

Cohn, H. Introduction to the Construction of Class Fields. New York: Cambridge University Press, p. 32, 1985.

Fröhlich, A. and Taylor, M. Ch. 2 in Algebraic Number Theory. New York: Cambridge University Press, 1991.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد