المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
مدارات الأقمار الصناعية Satellites Orbits
2025-01-11
كفران النعم في الروايات الإسلامية
2025-01-11
التلسكوبات الفضائية
2025-01-11
مقارنة بين المراصد الفضائية والمراصد الأرضية
2025-01-11
بنات الملك شيشنق الثالث
2025-01-11
الشكر وكفران النعمة في القرآن
2025-01-11

Lower Limit
19-9-2018
اليوم الثلاثون من الشهر والدعاء فيه.
2023-12-06
مسائل في نية الإحرام
8-9-2017
حساب متوسط مياه المطر على أي منطقة
1-1-2016
كيف نمنع تخمر العسل ؟
25-3-2022
استراتيجيات مكافحة الآفات في الزراعة العضوية
2024-06-05

Gauss,s Class Number Problem  
  
1552   03:59 مساءً   date: 1-1-2020
Author : Baker, A
Book or Source : "Linear Forms in the Logarithms of Algebraic Numbers. I." Mathematika 13
Page and Part : ...


Read More
Date: 17-12-2019 682
Date: 16-7-2020 770
Date: 6-1-2021 932

Gauss's Class Number Problem

For a given m, determine a complete list of fundamental binary quadratic form discriminants -d such that the class number is given by h(-d)=m. Heegner (1952) gave a solution for m=1, but it was not completely accepted due to a number of apparent gaps. However, subsequent examination of Heegner's proof showed it to be "essentially" correct (Conway and Guy 1996). Conway and Guy (1996) therefore call the nine values of n(-d) having h(-d)=1 where -d is the binary quadratic form discriminant corresponding to an quadratic field a+bsqrt(n) (n=-1-2-3-7-11-19-43-67, and -163; OEIS A003173) the Heegner numbers. The Heegner numbers have a number of fascinating properties.

Stark (1967) and Baker (1966) gave independent proofs of the fact that only nine such numbers exist; both proofs were accepted. Baker (1971) and Stark (1975) subsequently and independently solved the generalized class number problem completely for m=2. Oesterlé (1985) solved the case m=3, and Arno (1992) solved the case m=4. Wagner (1996) solved the cases n=5, 6, and 7. Arno et al. (1993) solved the problem for odd m satisfying 5<=m<=23. Using extensive computations, Watkins (2004) has solved the problem for all m<=100.


REFERENCES:

Arno, S. "The Imaginary Quadratic Fields of Class Number 4." Acta Arith. 40, 321-334, 1992.

Arno, S.; Robinson, M. L.; and Wheeler, F. S. "Imaginary Quadratic Fields with Small Odd Class Number." Dec. 1993. http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0009/.

Baker, A. "Linear Forms in the Logarithms of Algebraic Numbers. I." Mathematika 13, 204-216, 1966.

Baker, A. "Imaginary Quadratic Fields with Class Number 2." Ann. Math. 94, 139-152, 1971.

Conway, J. H. and Guy, R. K. "The Nine Magic Discriminants." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 224-226, 1996.

Goldfeld, D. M. "Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields." Bull. Amer. Math. Soc. 13, 23-37, 1985.

Heegner, K. "Diophantische Analysis und Modulfunktionen." Math. Z. 56, 227-253, 1952.

Heilbronn, H. A. and Linfoot, E. H. "On the Imaginary Quadratic Corpora of Class-Number One." Quart. J. Math. (Oxford) 5, 293-301, 1934.

Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 192, 1990.

Lehmer, D. H. "On Imaginary Quadratic Fields whose Class Number is Unity." Bull. Amer. Math. Soc. 39, 360, 1933.

Montgomery, H. and Weinberger, P. "Notes on Small Class Numbers." Acta. Arith. 24, 529-542, 1974.

Oesterlé, J. "Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires." Astérique 121-122, 309-323, 1985.

Oesterlé, J. "Le problème de Gauss sur le nombre de classes." Enseign Math. 34, 43-67, 1988.

Serre, J.-P. Delta=b^2-4ac." Math. Medley 13, 1-10, 1985.

Shanks, D. "On Gauss's Class Number Problems." Math. Comput. 23, 151-163, 1969.

Sloane, N. J. A. Sequence A003173/M0827 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Stark, H. M. "A Complete Determination of the Complex Quadratic Fields of Class Number One." Michigan Math. J. 14, 1-27, 1967.

Stark, H. M. "On Complex Quadratic Fields with Class Number Two." Math. Comput. 29, 289-302, 1975.

Wagner, C. "Class Number 5, 6, and 7." Math. Comput. 65, 785-800, 1996.

Watkins, M. "Class Numbers of Imaginary Quadratic Fields." Math. Comput. 73, 907-938, 2004.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.