المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024


Diophantine Equation--6th Powers  
  
1816   03:56 مساءً   date: 22-5-2020
Author : Ekl, R. L.
Book or Source : "Equal Sums of Four Seventh Powers." Math. Comput. 65
Page and Part : ...


Read More
Long Division Symbol
Date: 14-11-2019 965
Fortunate Prime
Date: 23-9-2020 884
Concordant Form
Date: 18-5-2020 814

Diophantine Equation--6th Powers

The 6.1.2 equation

A^6=B^6+C^6

(1)

is a special case of Fermat's last theorem with n=6, and so has no solution. No 6.1.n solutions are known for n<=6 (Lander et al. 1967; Guy 1994, p. 140). The smallest 6.1.7 solution is

74^6+234^6+402^6+474^6+702^6+894^6+1077^6=1141^6

(2)

(Lander et al. 1967; Ekl 1998). The smallest primitive 6.1.8 solutions are

8^6+12^6+30^6+78^6+102^6+138^6+165^6+246^6 =251^6 48^6+111^6+156^6+186^6+188^6+228^6+240^6+426^6 =431^6 93^6+93^6+195^6+197^6+303^6+303^6+303^6+411^6 =440^6 219^6+255^6+261^6+267^6+289^6+351^6+351^6+351^6 =440^6 12^6+66^6+138^6+174^6+212^6+288^6+306^6+441^6 =455^6 12^6+48^6+222^6+236^6+333^6+384^6+390^6+426^6 =493^6 66^6+78^6+144^6+228^6+256^6+288^6+435^6+444^6 =499^6 16^6+24^6+60^6+156^6+204^6+276^6+330^6+492^6 =502^6 61^6+96^6+156^6+228^6+276^6+318^6+354^6+534^6 =547^6 170^6+177^6+276^6+312^6+312^6+408^6+450^6+498^6 =559^6 60^6+102^6+126^6+261^6+270^6+338^6+354^6+570^6 =581^6 57^6+146^6+150^6+360^6+390^6+402^6+444^6+528^6 =583^6 33^6+72^6+122^6+192^6+204^6+390^6+534^6+534^6 =607^6 12^6+90^6+114^6+114^6+273^6+306^6+492^6+592^6 =623^6

(3)

(Lander et al. 1967). The smallest 6.1.9 solution is

1^6+17^6+19^6+22^6+31^6+37^6+37^6+41^6+49^6=54^6

(4)

(Lander et al. 1967). The smallest 6.1.10 solution is

2^6+4^6+7^6+14^6+16^6+26^6+26^6+30^6+32^6+32^6=39^6

(5)

(Lander et al. 1967). The smallest 6.1.11 solution is

2^6+5^6+5^6+5^6+7^6+7^6+9^6+9^6+10^6+14^6+17^6=18^6

(6)

(Lander et al. 1967). There is also at least one 6.1.16 identity,

1^6+2^6+4^6+5^6+6^6+7^6+9^6+12^6+13^6+15^6 +16^6+18^6+20^6+21^6+22^6+23^6=28^6

(7)

(Martin 1893). Moessner (1959) gave solutions for 6.1.16, 6.1.18, 6.1.20, and 6.1.23 equations.

Ekl (1996) has searched and found no solutions to the 6.2.2

A^6+B^6=C^6+D^6

(8)

with sums less than 7.25×10^(26). No solutions are known to the 6.2.3 or 6.2.4 equations. The smallest primitive 6.2.5 equations are

1092^6+861^6+602^6+212^6+84^6 = 1117^6+770^6

(9)
1893^6+1468^6+1407^6+1302^6+1246^6 = 2041^6+691^6

(10)
2184^6+2096^6+1484^6+1266^6+1239^6 = 2441^6+752^6

(11)
2653^6+2296^6+1488^6+1281^6+390^6 = 2827^6+151^6

(12)
2954^6+2481^6+850^6+798^6+420^6 = 2959^6+2470^6

(13)

(E. Brisse 1999, Resta 1999, Resta and Meyrignac 2003, Meyrignac). The smallest 6.2.6 equation is

241^6+17^6=218^6+210^6+118^6+2·63^6+42^6

(14)

(Ekl 1998). The smallest 6.2.7 solution is

18^6+22^6+36^6+58^6+69^6+78^6+78^6=56^6+91^6

(15)

(Lander et al. 1967). The smallest 6.2.8 solution is

8^6+10^6+12^6+15^6+24^6+30^6+33^6+36^6=35^6+37^6

(16)

(Lander et al. 1967). The smallest 6.2.9 solution is

1^6+5^6+5^6+7^6+13^6+13^6+13^6+17^6+19^6=6^6+21^6

(17)

(Lander et al. 1967). The smallest 6.2.10 solution is

1^6+1^6+1^6+4^6+4^6+7^6+9^6+11^6+11^6+11^6=12^6+12^6

(18)

(Lander et al. 1967).

Parametric solutions are known for the 6.3.3 equation

A^6+B^6+C^6=D^6+E^6+F^6

(19)

(Guy 1994, pp. 140 and 142). Known solutions are

3^6+19^6+22^6 = 10^6+15^6+23^6

(20)
36^6+37^6+67^6 = 15^6+52^6+65^6

(21)
33^6+47^6+74^6 = 23^6+54^6+73^6

(22)
32^6+43^6+81^6 = 3^6+55^6+80^6

(23)
37^6+50^6+81^6 = 11^6+65^6+78^6

(24)
25^6+62^6+138^6 = 82^6+92^6+135^6

(25)
51^6+113^6+136^6 = 40^6+125^6+129^6

(26)
71^6+92^6+147^6 = 1^6+132^6+133^6

(27)
111^6+121^6+230^6 = 26^6+169^6+225^6

(28)
75^6+142^6+245^6 = 14^6+163^6+243^6

(29)

(Rao 1934, Lander et al. 1967, Ekl 1998). Ekl (1998) mentions but does not list the 87 smallest solutions to the 6.2.6 equation. The smallest primitive 6.3.4 solutions are

73^6+58^6+41^6 = 70^6+65^6+32^6+15^6

(30)
85^6+62^6+61^6 = 83^6+69^6+56^6+52^6

(31)
85^6+74^6+61^6 = 87^6+71^6+56^6+26^6

(32)
90^6+88^6+11^6 = 92^6+78^6+74^6+21^6

(33)
95^6+83^6+26^6 = 101^6+28^6+24^6+23^6

(34)
130^6+44^6+23^6 = 119^6+108^6+86^6+38^6

(35)
125^6+114^6+38^6 = 126^6+104^6+93^6+68^6

(36)
205^6+113^6+18^6 = 198^6+148^6+133^6+39^6

(37)
211^6+123^6+34^6 = 210^6+134^6+73^6+39^6

(38)
212^6+164^6+103^6 = 217^6+130^6+114^6+8^6

(39)
222^6+34^6+25^6 = 217^6+156^6+96^6+68^6

(40)
218^6+167^6+29^6 = 224^6+107^6+102^6+65^6

(41)
226^6+110^6+17^6 = 224^6+143^6+72^6+34^6

(42)
244^6+123^6+112^6 = 238^6+180^6+91^6+72^6

(43)
241^6+172^6+156^6 = 246^6+145^6+132^6+56^6

(44)
257^6+155^6+6^6 = 252^6+181^6+143^6+114^6

(45)
265^6+147^6+12^6 = 231^6+221^6+210^6+114^6

(46)
260^6+218^6+185^6 = 276^6+152^6+112^6+25^6

(47)
305^6+85^6+66^6 = 273^6+267^6+172^6+122^6

(48)
312^6+241^6+33^6 = 315^6+228^6+99^6+2^6

(49)
331^6+234^6+59^6 = 306^6+294^6+151^6+95^6

(50)
332^6+243^6+43^6 = 338^6+177^6+168^6+95^6

(51)
351^6+265^6+221^6 = 336^6+309^6+169^6+73^6

(52)
365^6+137^6+126^6 = 360^6+234^6+175^6+133^6

(53)
360^6+265^6+200^6 = 336^6+318^6+212^6+169^6

(54)
348^6+325^6+36^6 = 357^6+276^6+276^6+82^6

(55)
373^6+288^6+104^6 = 363^6+292^6+266^6+120^6

(56)
386^6+113^6+62^6 = 378^6+260^6+209^6+88^6

(57)

(Lander et al. 1967, Ekl 1998).

Moessner (1947) gave three parametric solutions to the 6.4.4 equation. The smallest 6.4.4 solution is

2^6+2^6+9^6+9^6=3^6+5^6+6^6+10^6

(58)

(Rao 1934, Lander et al. 1967). The smallest 6.4.4.4 solution is

1^6+34^6+49^6+111^6=7^6+43^6+69^6+110^6=18^6+25^6+77^6+109^6

(59)

(Lander et al. 1967).

Moessner and Gloden (1944) give the 6.7.8 solution

32^6+31^6+23^6+22^6+13^6+6^6+5^6 =33^6+28^6+27^6+20^6+11^6+10^6+2^6+1^6.

(60)

 

REFERENCES:

Ekl, R. L. "Equal Sums of Four Seventh Powers." Math. Comput. 65, 1755-1756, 1996.

Ekl, R. L. "New Results in Equal Sums of Like Powers." Math. Comput. 67, 1309-1315, 1998.

Guy, R. K. "Sums of Like Powers. Euler's Conjecture." §D1 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 139-144, 1994.

Lander, L. J.; Parkin, T. R.; and Selfridge, J. L. "A Survey of Equal Sums of Like Powers." Math. Comput. 21, 446-459, 1967.

Martin, A. "On Powers of Numbers Whose Sum is the Same Power of Some Number." Quart. J. Math. 26, 225-227, 1893.

Meyrignac, J.-C. "Computing Minimal Equal Sums of Like Powers." https://euler.free.fr.

Meyrignac, J.-C. "Description of Resta's Algorithm." https://euler.free.fr/how.htm.

Moessner, A. "On Equal Sums of Like Powers." Math. Student 15, 83-88, 1947.

Moessner, A. "Einige zahlentheoretische Untersuchungen und diophantische Probleme." Glasnik Mat.-Fiz. Astron. Drustvo Mat. Fiz. Hrvatske Ser. 2 14, 177-182, 1959.

Moessner, A. and Gloden, A. "Einige Zahlentheoretische Untersuchungen und Resultate." Bull. Sci. École Polytech. de Timisoara 11, 196-219, 1944.

Rao, S. K. "On Sums of Sixth Powers." J. London Math. Soc. 9, 172-173, 1934.

Resta, G. and Meyrignac, J.-C. "The Smallest Solutions to the Diophantine Equation x^6+y^6=a^6+b^6+c^6+d^6+e^6." Math. Comput. 72, 1051-1054, 2003.

Resta, G. "New Results on Equal Sums of Sixth Powers." Instituto di Matematica Computazionale, Pisa, Italy. April 1999. https://www.chez.com/powersum/Tr-b4-08.zip




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
دراسة تكشف "مفاجأة" غير سارة تتعلق ببدائل السكر
التاريخ / 2025-04-23

الأخبار العلمية
أدوات لا تتركها أبدًا في سيارتك خلال الصيف!
التاريخ / 2025-04-23

الساحة الاسلامية
العتبة العباسية المقدسة تؤكد الحاجة لفنّ الخطابة في مواجهة تأثيرات الخطابات الإعلامية المعاصرة
التاريخ / 2025-04-24