A sequence of real numbers {x_n}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EquidistributedSequence/Inline1.gif" style="height:15px; width:23px" /> is equidistributed on an interval  if the probability of finding  in any subinterval is proportional to the subinterval length. The points of an equidistributed sequence form a dense set on the interval .

However, dense sets need not necessarily be equidistributed. For example, {frac(lnn)}_n" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EquidistributedSequence/Inline5.gif" style="height:15px; width:70px" />, where  is the fractional part, is dense in  but not equidistributed, as illustrated above for  to 5000 (left) and  to  (right)

Hardy and Littlewood (1914) proved that the sequence {frac(x^n)}_n" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EquidistributedSequence/Inline11.gif" style="height:15px; width:62px" />, of power fractional parts is equidistributed for almost all real numbers  (i.e., the exceptional set has Lebesgue measure zero). Exceptional numbers include the positive integers, the silver ratio  (Finch 2003), and the golden ratio .

The top set of above plots show the values of {frac(kx)}_(k=0)^(10)" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EquidistributedSequence/Inline15.gif" style="height:19px; width:79px" /> for  equal to e, the Euler-Mascheroni constant , the golden ratio , and pi. Similarly, the bottom set of above plots show a histogram of the distribution of {frac(kx)}_(k=0)^(10000)" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EquidistributedSequence/Inline19.gif" style="height:19px; width:87px" /> for these constants. Note that while most settle down to a uniform-appearing distribution,  curiously appears nonuniform after  iterations. Steinhaus (1999) remarks that the highly uniform distribution of  has its roots in the form of the continued fraction for .

Now consider the number of empty intervals in the distribution of {frac(kx)}_(k=0)^n" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EquidistributedSequence/Inline24.gif" style="height:17px; width:79px" /> in the intervals bounded by the intervals determined by 0, , , ..., , 1 for , 2, ..., summarized below for the constants previously considered.

	Sloane	# empty intervals for , 2, ...
	A036412	0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 7, 5, ...
	A046157	0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 3, ...
	A036414	0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 2, ...
	A036416	0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, ...

The values of  for which no bins are left blank are given in the following table.

	Sloane	with no empty intervals
	A036413	1, 2, 3, 4, 6, 7, 32, 35, 39, 71, 465, 536, 1001, ...
	A046158	1, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 19, 26, 97, 123, 149, 272, 395, ...
	A036415	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 21, 34, 55, 89, 144, ...
	A036417	1, 6, 7, 106, 112, 113, 33102, 33215, ...

REFERENCES:

Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "Some Problems of Diophantine Approximation." Acta Math. 37, 193-239, 1914.

Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution of Sequences. New York: Wiley, 1974.

Pólya, G. and Szegö, G. Problems and Theorems in Analysis I. New York: Springer-Verlag, p. 88, 1972.

Sloane, N. J. A. Sequences A036412, A036413, A036414, A036415, A036416, A036417, A046157, and A046158 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 155-156, 1991.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم شؤون المعارف يطلق دورة (صفات الشيعة) لعدد من ملاكات العتبة العباسية المقدسة

الهيأة العليا لإحياء التراث تبحث تعزيز التعاون المشترك مع مركز الإمام الباقر (عليه السلام) في إيران

جامعة الكفيل تكرِّم طلبتها المتميزين من ذوي الاحتياجات الخاصة

فريق طبي في مستشفى الكفيل يجري عملية ناجحة لطفل يعاني من تشوّه ولاديّ بالنخاع الشوكي

المزيد

الآخبار الصحية

خصوصا مع تقدم السن.. 6 سلوكيات يومية قد تدمّر صحتك

فاكهة خضراء.. علاج طبيعي فعّال للإمساك واضطرابات الهضم

روسيا تبدأ أولى التجارب السريرية للقاح واعد ضد السرطان

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

روسيا تخطط لإقامة محطة نووية في القمر خلال العقد المقبل

كيف قاد إيلون ماسك حملة "غروك" لاختراق عرش الذكاء الاصطناعي

ألتمان: الذكاء الاصطناعي سيتجاوز البشر في 2026 !

المزيد