تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Ordered Factorization
المؤلف:
Chor, B.; Lemke, P.; and Mador, Z.
المصدر:
"On the Number of Ordered Factorizations of Natural Numbers." Disc. Math. 214
الجزء والصفحة:
...
14-9-2020
2005
Ordered Factorization
An ordered factorization is a factorization (not necessarily into prime factors) in which is considered distinct from
. The following table lists the ordered factorizations for the integers 1 through 10.
![]() |
# | ordered factorizations |
1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 2 |
3 | 1 | 3 |
4 | 2 | ![]() |
5 | 1 | 5 |
6 | 3 | ![]() ![]() |
7 | 1 | 7 |
8 | 4 | ![]() ![]() ![]() |
9 | 2 | ![]() |
10 | 3 | ![]() ![]() |
The numbers of ordered factorizations of
, 2, ... are given by 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, ... (OEIS A074206). This sequence has the Dirichlet generating function
![]() |
(1) |
where is the Riemann zeta function.
A recurrence equation for is given by
![]() |
(2) |
where the sum is over the divisors of and
(Hille 1936, Knopfmacher and Mays 2006). Another recurrence also due to Hille (1936) for
is given by
![]() |
(3) |
where and
![]() |
(4) |
is the prime factorization of (Knopfmacher and Mays 1996).
MacMahon (1893) derived the beautiful double sum formula
![]() |
(5) |
where
![]() |
(6) |
(Knopfmacher and Mays 1996). In the case that is a product of two prime powers,
![]() |
(7) |
Chor et al. (2000) showed that
![]() |
![]() |
![]() |
(8) |
![]() |
![]() |
![]() |
(9) |
where is a hypergeometric function.
The number of ordered factorizations of is equal to the number of perfect partitions of
(Goulden and Jackson 1983, p. 94).
REFERENCES:
Chor, B.; Lemke, P.; and Mador, Z. "On the Number of Ordered Factorizations of Natural Numbers." Disc. Math. 214, 123-133, 2000.
Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 126, 1974.
Goulden, I. P. and Jackson, D. M. Problem 2.5.12 in Combinatorial Enumeration. New York: Wiley, p. 94, 1983.
Hille, E. "A Problem in 'Factorisatio Numerorum.' " Acta Arith. 2, 134-144, 1936.
Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 141, 1985.
Knopfmacher, A. and Mays, M. "Ordered and Unordered Factorizations of Integers." Mathematica J. 10, 72-89, 2006.
MacMahon, P. A. "Memoir on the Theory of the Compositions of Numbers." Philos. Trans. Roy. Soc. London (A) 184, 835-901, 1893.
Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, p. 124, 1980.
Sloane, N. J. A. Sequence A074206 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Warlimont, R. "Factorisatio Numerorum with Constraints." J. Number Th. 45, 186-199, 1993.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
