If there exists a rational integer  such that, when , , and  are positive integers,

then  is the -adic residue of , i.e.,  is an -adic residue of  iff  is solvable for . Reciprocity theorems relate statements of the form " is an -adic residue of " with reciprocal statements of the form " is an -adic residue of ."

The first case to be considered was  (the quadratic reciprocity theorem), of which Gauss gave the first correct proof. Gauss also solved the case  (cubic reciprocity theorem) using integers of the form , where  is a root of  and ,  are rational integers. Gauss stated the case  (biquadratic reciprocity theorem) using the Gaussian integers.

Proof of -adic reciprocity for prime  was given by Eisenstein in 1844-50 and by Kummer in 1850-61. In the 1920s, Artin formulated Artin's reciprocity theorem, a general reciprocity law for all orders.

REFERENCES:

Lemmermeyer, F. Reciprocity Laws: Their Evolution from Euler to Artin. Berlin: Springer-Verlag, 2000.

Lemmermeyer, F. "Bibliography on Reciprocity Laws." https://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/recbib.html.

Nagell, T. "Power Residues. Binomial Congruences." §34 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 115-120, 1951.

Wyman, B. F. "What Is a Reciprocity Law?" Amer. Math. Monthly 79, 571-586, 1972.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد