If there exists a rational integer  such that, when , , and  are positive integers,

then  is the -adic residue of , i.e.,  is an -adic residue of  iff  is solvable for . Reciprocity theorems relate statements of the form " is an -adic residue of " with reciprocal statements of the form " is an -adic residue of ."

The first case to be considered was  (the quadratic reciprocity theorem), of which Gauss gave the first correct proof. Gauss also solved the case  (cubic reciprocity theorem) using integers of the form , where  is a root of  and ,  are rational integers. Gauss stated the case  (biquadratic reciprocity theorem) using the Gaussian integers.

Proof of -adic reciprocity for prime  was given by Eisenstein in 1844-50 and by Kummer in 1850-61. In the 1920s, Artin formulated Artin's reciprocity theorem, a general reciprocity law for all orders.

REFERENCES:

Lemmermeyer, F. Reciprocity Laws: Their Evolution from Euler to Artin. Berlin: Springer-Verlag, 2000.

Lemmermeyer, F. "Bibliography on Reciprocity Laws." https://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/recbib.html.

Nagell, T. "Power Residues. Binomial Congruences." §34 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 115-120, 1951.

Wyman, B. F. "What Is a Reciprocity Law?" Amer. Math. Monthly 79, 571-586, 1972.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد