تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Digit Sum
المؤلف:
Allouche, J.-P.
المصدر:
"Series and Infinite Products Related to Binary Expansions of Integers." 1992. https://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.
الجزء والصفحة:
...
10-11-2020
1349
+
-
20
Digit Sum
A digit sum 
is a sum of the base-
digits of 
, which can be implemented in the Wolfram Language as
DigitSum[n_, b_:10] := Total[IntegerDigits[n, b]]
The following table gives 
for 
, 2, ... and small 
.
 |
OEIS |  for  , 2, ... |
| 2 | A000120 | 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ... |
| 3 | A053735 | 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, ... |
| 4 | A053737 | 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, ... |
| 5 | A053824 | 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 3, ... |
| 6 | A053827 | 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, ... |
| 7 | A053828 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, ... |
| 8 | A053829 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... |
| 9 | A053830 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... |
| 10 | A007953 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... |
Plotting 
versus 
and 
gives the plot shown above.
The digits sum 
satisfies the congruence
 |
(1) |
In base 10, this congruence is the basis of casting out nines and of fast divisibility tests such as those for 3 and 9.
satisfies the following unexpected identity
 |
(2) |
the 
case of which was given in the 1981 Putnam competition (Allouche 1992). In addition,
 |
 |
 |
(3) |
![sum_(n=2)^(infty)[s_2(n)]^2(8n^3+4n^2+n-1)/(4n(n^2-1)(4n^2-1))](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigitSum/Inline19.gif) |
 |
 |
(4) |
(OEIS A100044 and A100045; Allouche 1992, Allouche and Shallit 1992).
Let 
be the number of digit blocks of 11 in the binary expansion of 
, then
 |
 |
 |
(5) |
(OEIS A100046; Allouche 1992).
Sondow (2006) noted the unexpected identity
 |
(6) |
The special case of 
corresponds to a Thue-Morse sequence product (J. Sondow, pers. comm., Oct. 31, 2006).
The numbers 1, 81, 1458 and 1729 (OEIS A110921) are each the product of their own digit sum and its reversal, for example 
, and 
. These are the only four numbers with this property, as proved by Fujiwara (Fujiwara and Ogawa 2005).
REFERENCES:
Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products Related to Binary Expansions of Integers." 1992. https://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.
Allouche, J.-P. and Shallit, J. "The Ring of k-Regular Sequences." Theor. Comput. Sci. 98, 163-197, 1992.
Fujiwara, M. and Ogawa, Y. Introduction to Truly Beautiful Mathematics. Tokyo: Chikuma Shobo, 2005.
Grabner, P. J.; Herendi, T.; and Tichy, R. F. "Fractal Digital Sums and Codes." Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 8, 33-39, 1997.
Shallit, J. O. "On Infinite Products Associated with Sums of Digits." J. Number Th. 21, 128-134, 1985.
Sloane, N. J. A. Sequences A000120/M0105, A007953, A053735, A053737, A053824, A053827, A053828, A053829, A053830, A100044, A100045, and A100046 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Sondow, J. "Problem 11222." Amer. Math. Monthly 113, 459, 2006.
Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 218, 2004. https://www.mathematicaguidebooks.org/.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
