A number  such that

where  is the divisor function is called a superperfect number. Even superperfect numbers are just , where  is a Mersenne prime. If any odd superperfect numbers exist, they are square numbers and either  or  is divisible by at least three distinct primes.

More generally, an -superperfect (or (, 2)-superperfect) number is a number for which , and an -perfect number is a number  for which . A number  can be tested to see if it is -perfect using the following Wolfram Language code:

  SuperperfectQ[m_, n_, k_:2] :=
    Nest[DivisorSigma[1, #]&, n, m] == k n

The first few (2, 2)-perfect numbers are 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, ... (OEIS A019279; Cohen and te Riele 1996). For , there are no even -superperfect numbers (Guy 1994, p. 65). On the basis of computer searches, J. McCranie has shown that there are no -superperfect numbers less than  for any  (McCranie, pers. comm., Nov. 11, 2001). McCranie further believes that there are no -superperfect numbers for , since  for all  in that range

REFERENCES:

Cohen, G. L. and te Riele, J. J. "Iterating the Sum-of-Divisors Function." Experim. Math. 5, 93-100, 1996.

Guy, R. K. "Superperfect Numbers." §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.

Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.

Lord, G. "Even Perfect and Superperfect Numbers." Elem. Math. 30, 87-88, 1975.

Sloane, N. J. A. Sequence A019279 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Suryanarayana, D. "Super Perfect Numbers." Elem. Math. 24, 16-17, 1969.

Suryanarayana, D. "There Is No Odd Super Perfect Number of the Form ." Elem. Math. 24, 148-150, 1973.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الصناعات والحرف الفنية ينفذ أعمالًا تطويرية في جامعة الكفيل

قسم الشؤون الطبية يناقش تحضيراته لحفل التخرج المركزي لطالبات الجامعات العراقية العاشر

مركز الكفيل للإعلان والتسويق يباشر تنفيذ الأعمال الطباعية لحفل تخرج طالبات الجامعات العراقية العاشر

قسم رعاية الصحن يهيئ الأماكن المخصصة لفعاليات حفل تخرج طالبات الجامعات العراقية العاشر

المزيد

الآخبار الصحية

خصوصا مع تقدم السن.. 6 سلوكيات يومية قد تدمّر صحتك

فاكهة خضراء.. علاج طبيعي فعّال للإمساك واضطرابات الهضم

روسيا تبدأ أولى التجارب السريرية للقاح واعد ضد السرطان

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

روسيا تخطط لإقامة محطة نووية في القمر خلال العقد المقبل

كيف قاد إيلون ماسك حملة "غروك" لاختراق عرش الذكاء الاصطناعي

ألتمان: الذكاء الاصطناعي سيتجاوز البشر في 2026 !

المزيد