Dickson states "In a letter to Tanner [L'intermediaire des math., 2, 1895, 317] Lucas stated that Mersenne (1644, 1647) implied that a necessary and sufficient condition that  be a prime is that  be a prime of one of the forms , , ."

Mersenne's implication has been refuted, but Bateman, Selfridge, and Wagstaff (1989) used the statement as an inspiration for what is now called the new Mersenne conjecture, which can be stated as follows.

Consider an odd natural number . If two of the following conditions hold, then so does the third:

1.  or ,

2.  is prime (a Mersenne prime),

3.  is prime (a Wagstaff prime).

This conjecture has been verified for all primes .

Based on the distribution and heuristics of (cf. https://www.utm.edu/research/primes/mersenne/heuristic.html) the known Mersenne and Wagstaff prime exponents, it seems quite likely that there is only a finite number of exponents satisfying the criteria of the new Mersenne conjecture. In fact, it is likely that there will be no more Mersenne or Wagstaff prime exponents discovered which fit the criteria. The new Mersenne conjecture may therefore simply be another instance of Guy's strong law of small numbers. In fact, R. D. Silverman (2005) has stated he was present when the conjecture was first posed and quotes Selfridge himself as describing the conjecture as a minor curious coincidence.

REFERENCES:

Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; and Wagstaff, S. S. "The New Mersenne Conjecture." Amer. Math. Monthly 96, 125-128, 1989.

Caldwell, C. "The New Mersenne Prime Conjecture." https://primes.utm.edu/mersenne/NewMersenneConjecture.html.

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 28, 2005.

Silverman, R. D. Post to mersenneforum.org. Apr. 21, 2005. https://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=53533&postcount=3.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد