There are no fewer than two closely related but somewhat different notions of gerbe in mathematics.

For a fixed topological space , a gerbe on  can refer to a stack of groupoids  on  satisfying the properties

1. {U:G(U)!=emptyset}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Gerbe/Inline5.gif" style="height:15px; width:128px" /> for subsets  open, and

2. given objects , any point  has a neighborhood  for which there is at least one morphism  in .

The second definition is due to Giraud (Brylinski 1993). Given a manifold  and a Lie group , a gerbe  with band  is a sheaf of groupoids over  satisfying the following three properties:

1. Given any object  of , the sheaf  of automorphisms of this object is a sheaf of groups on  which is locally isomorphic to the sheaf  of smooth -valued functions. Such a local isomorphism  is unique up to inner automorphisms of .

2. Given two objects  and  of , there exists a surjective local homeomorphism  such that  and  are isomorphic. In particular,  and  are locally isomorphic.

3. There exists a surjective local homeomorphism  such that the category  is non-empty.

Clearly, the notion of a gerbe's band is fundamental for the second definition; though not explicitly mentioned, the band of a gerbe  defined by the first definition is also important (Moerdijk 2002). According to Brylinski, gerbes whose bands  corresponds to a Lie group  are significant in that they give rise to degree-2 cohomology classes in , a fact utilized by Giraud in his study of non-abelian degree-2 cohomology.

REFERENCES:

Brylinski, J. Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization. Boston, MA: Birkhäuser, 1993.

Moerdijk, I. "Introduction to the Language of Stacks and Gerbes." 2002. https://arxiv.org/abs/math/0212266.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

شعبة مدارس الكفيل تنظم ورشة عن التمكين الإرشادي ومهارات التعامل مع الأطفال واليافعين

العتبة العباسية المقدسة تستقبل وفود المؤتمر العلمي الدولي للسيد المجاهد (قدس سره)

قسم شؤون المعارف يقيم ندوة تعريفية عن مؤتمر التراث البصري في جامعة بابل

شعبة التوجيه الديني النسوي تقيم مجلس عزاء بذكرى وفاة السيدة زينب (عليها السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد