The Steenrod algebra has to do with the cohomology operations in singular cohomology with integer mod 2 coefficients. For every  and {0,1,2,3,...}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SteenrodAlgebra/Inline2.gif" style="height:15px; width:103px" /> there are natural transformations of functors

(1)

satisfying:

1.  for .

2.  for all  and all pairs .

3. .

4. The  maps commute with the coboundary maps in the long exact sequence of a pair. In other words,

(2)

is a degree  transformation of cohomology theories.

5. (Cartan relation)

(3)

6. (Adem relations) For ,

(4)

7.  where  is the cohomology suspension isomorphism.

The existence of these cohomology operations endows the cohomology ring with the structure of a module over the Steenrod algebra , defined to be {Sq^i:i in {0,1,2,3,...}})/R" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SteenrodAlgebra/Inline15.gif" style="height:21px; width:210px" />, where  is the free module functor that takes any set and sends it to the free  module over that set. We think of {Sq^i:i in {0,1,2,...}}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SteenrodAlgebra/Inline18.gif" style="height:21px; width:156px" /> as being a graded  module, where the th gradation is given by . This makes the tensor algebra {Sq^i:i in {0,1,2,3,...}})" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SteenrodAlgebra/Inline22.gif" style="height:21px; width:191px" /> into a graded algebra over .  is the ideal generated by the elements  and  for . This makes  into a graded  algebra.

By the definition of the Steenrod algebra, for any space ,  is a module over the Steenrod algebra , with multiplication induced by . With the above definitions, cohomology with coefficients in the ring ,  is a functor from the category of pairs of topological spaces to graded modules over .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد