A map , between two compact Riemannian manifolds, is a harmonic map if it is a critical point for the energy functional

The norm of the differential  is given by the metric on  and  and  is the measure on . Typically, the class of allowable maps lie in a fixed homotopy class of maps.

The Euler-Lagrange differential equation for the energy functional is a non-linear elliptic partial differential equation. For example, when  is the circle, then the Euler-Lagrange equation is the same as the geodesic equation. Hence,  is a closed geodesic iff  is harmonic. The map from the circle to the equator of the standard 2-sphere is a harmonic map, and so are the maps that take the circle and map it around the equator  times, for any integer . Note that these all lie in the same homotopy class. A higher-dimensional example is a meromorphic function on a compact Riemann surface, which is a harmonic map to the Riemann sphere.

A harmonic map may not always exist in a homotopy class, and if it does it may not be unique. When  is negatively curved, a harmonic representative exists for each homotopy class, and is also unique. For surfaces, the harmonic maps have been classified, and are precisely the holomorphic maps and the anti-holomorphic maps. Thus by Hodge's theorem for surfaces, there are no non-trivial harmonic maps from the sphere to the torus.

A harmonic map between Riemannian manifolds can be viewed as a generalization of a geodesic when the domain dimension is one, or of a harmonic function when the range is a Euclidean space.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مؤتمر السيد المجاهد يشهد عرض فيلم وثائقي عن سيرته العلمية ومشروع إحياء تراثه

بحث حوزوي يتناول التمييز بين المعجزة والسحر عند السيد المجاهد

بحث يناقش أثر القواعد العقلية في استنباط الأحكام الشرعية عند السيد محمد المجاهد

بحث علمي يناقش ردود السيد المجاهد على اللغويين والنحويين في كتابه (مفاتيح الأصول)

المزيد

الآخبار الصحية

هل توقيت نشاطك اليومي يؤثر على صحة دماغك؟.. العلماء يجيبون

"مشروب محبوب" يخفي فوائد لا يعرفها كثيرون

طبيب يكشف 5 أنواع للسعال.. بعضها خطير

نقص فيتامينات "خفي".. قد يفسّر التعب والتنميل وقلة التركيز

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة: تغيّرات في أسلوب القيادة قد تكشف مبكرا عن الخرف !

عمرها 773 ألف سنة.. اكتشاف أقدم أحافير بشرية في المغرب

"اختراق علمي".. اختبار دم في منزلك قد يكشف ألزهايمر

ماذا يحدث للجسم عند قطع الكافيين فجأة؟

المزيد