Definition Let R and S be unital rings. An R-S-bimodule is an Abelian group M, where elements of M may be multiplied on the left by elements of R, and may also be multiplied on the right by elements of S, and where the following properties are satisfied:

(i) M is a left R-module;

(ii) M is a right S-module;

(iii) (rx)s = r(xs) for all x ∈ M, r ∈ R and s ∈ S.

Example Let K be a field, let m and n be positive integers, and let Mm,n(K)  denote the set of m × n matrices with coefficients in the field K. Then Mm,n(K) is an Abelian group with respect to the operation of matrix addition.

The elements of M_m,n(K) may be multiplied on the left by elements of the ring M_m(K) of m × m matrices with coefficients in K; they may also be multiplied on the right by elements of the ring M_n(K) of n × n matrices with coefficients in K; these multiplication operations are the usual ones resulting from matrix multiplication. Moreover (AX)B = A(XB) for all X ∈ M_m,n(K), A ∈ M_m(K) and B ∈ M_n(K). Thus M_m,n(K) is an M_m(K)-M_n(K)-bimodule.

If R is a unital commutative ring then any R-module M may be regarded as an R-R-bimodule, where (rx)s = r(xs) = (rs)x for all x ∈ M and r, s ∈ R.

Definition Let R and S be unital rings, and let M and N be R-S-bimodules.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle