Definition Let F be a left module over a unital ring R, and let X be a subset of F. We say that the left R-module F is freely generated by the subset X if, given any left R-module M, and given any function f: X → M,  there exists a unique R-module homomorphism ϕ: F → M that extends the function f.

Example Let K be a field. Then a K-module is a vector space over K. Let V be a finite-dimensional vector space over the field K, and let b₁, b₂, . . . , b_n be a basis of V . Then V is freely generated (as a K-module) by the set B,  where B = {b₁, b₂, . . . , b_n}. Indeed, given any vector space W over K, and given any function f: B → W, there is a unique linear transformation ϕ: V → W that extends f. Indeed

for all λ₁, λ₂, . . . , λ_n ∈ K. (Note that a function between vector spaces over some field K is a K-module homomorphism if and only if it is a linear transformation.)

Definition A left module F over a unital ring R is said to be free if there exists some subset of F that freely generates the R-module F.

Lemma 1.1 Let F be a left module over a unital ring R, let X be a set, and let i: X → F be a function. Suppose that the function f: X → F satisfies the following universal property:

given any left R-module M, and given any function f: X → M,  there exists a unique R-module homomorphism ϕ: F → M such that ϕ ◦ i = f.

Then the function i: X → F is injective, and F is freely generated by i(X).

Proof Let x and y be distinct elements of the set X, and let f be a function satisfying f(x) = 0_R and f(y) = 1_R, where 0_R and 1_R denote the zero element and the multiplicative identity element respectively of the ring R.

The ring R may be regarded as a left R-module over itself. It follows from the universal property of i: X → M stated above that there exists a unique R-module homomorphism θ: F → R for which θ ◦ i = f. Then θ(i(x)) = 0_R and θ(i(y)) = 1_R. It follows that i(x) ≠i(y). Thus the function i: X → F is injective.

Let M be a left R-module, and let g:i(X) → M be a function defined on i(X). Then there exists a unique homomorphism ϕ: F → M such that ϕ ◦ i = g ◦ i. But then ϕ|i(X) = g. Thus the function g:i(X) → M extends uniquely to a homomorphism ϕ: F → M. This shows that F is freely generated by i(X), as required.

Let F₁ and F₂ be left modules over a unital ring R, let X₁ be a subset of F₁, and let X₂ be a subset of F₂. Suppose that F1 is freely generated by X₁,  and that F₂ is freely generated by X₂. Then any function f: X₁ → X₂ from X₁ to X₂ extends uniquely to a R-module homomorphism from F₁ to F₂. We denote by f]: F₁ → F₂ the unique R-module homomorphism that extends f.

Now let F₁, F₂ and F₃ be left modules over a unital ring R, and let X₁,  X₂ and X₃ be subsets of F₁, F₂ and F₃ respectively. Suppose that the left R-module F_i is freely generated by X_i for i = 1, 2, 3. Let f: X₁ → X₂ andg: X₂ → X₃ be functions. Then the functions f, g and g ◦ f extend uniquely to R-module homomorphisms f] : F₁ → F₂, g] : F₂ → F₃ and (g ◦f)]: F₃ → F₃.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خمسون عامًا من العطاء.. نجم الأعرجي خادم الزائرين بلا انقطاع

العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة مجالسها العزائية لإحياء شهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تطلق سلسلة محاضرات قرآنية عاشورائية في بابل

في مساء اليوم الخامس من المحرّم.. المواكب الكربلائيّة تواصل فعالياتها العزائية

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle