Proposition 1.1 Let X be a set, and let R be a unital ring. Then there exists a left R-module F_RX and an injective function i_X: X → FRX such that F_RX is freely generated by i_X(X). The R-module F_RX and the function i_X: X → F_RX then satisfy the following universal property:

given any left R-module M, and given any function f: X → M,  there exists a unique R-module homomorphism ϕ: F_RX → M such that ϕ ◦ i_X = f.

The elements of F_RX may be represented as functions from X to R that have only finitely many non-zero values. Also given any element x of X, the corresponding element i_X(x) of FRX is represented by the function δ_x: X → R, where δ_x maps x to the identity element of R, and maps all other elements of X to the zero element of R.

Proof Let 0_R and 1_R denote the zero element and the multiplicative identity element respectively of the ring R.

We define F_RX to be the set of all functions σ: X → R from X to R that have at most finitely many non-zero values.

Note that if σ and τ are functions from X to R that have at most finitely many non-zero values, then so is the sum σ+τ of the functions σ and τ (where  (σ + τ )(x) = σ(x) + τ (x) for all x ∈ X). Therefore addition of functions is a binary operation on the set F_RX. Moreover F_RX is an Abelian group with respect to the operation of addition of functions.

Given r ∈ R, and given σ ∈ FRX, let rσ be the function from X to R defined such that (rσ)(x) = rσ(x) for all x ∈ X. Then

                        r(σ + τ ) = rσ + rτ, (r + s)σ = rσ + sσ,

                                  (rs)σ = r(sσ), 1_Rσ = σ

for all σ, τ ∈ FRX and r, s ∈ R. It follows that FRX is a module over the ring R.

Given x ∈ X, let δ_x: X → R be the function defined such that

Then δ_x ∈ F_RX for all x ∈ X. We denote by i_X: X → FRX the function that sends x to δ_x for all x ∈ X.

 We claim that F_RX is freely generated by the set i_X(X), where i_X(X) = {δ_x : x ∈ X}. Let M be an R-module, and let f: X → M be a function from X to M. We must prove that there exists a unique R-module homomorphism ϕ: F_RX → M such that ϕ ◦ iX = f (Lemma 1.1)in(Free Modules).

Let σ be an element of F_RX. Then σ is a function from X to R with at most finitely many non-zero values. Then σ =∑_{x∈supp σ}  σ(x)δ_x, where supp σ = {x ∈ X : σ(x) ≠0_R}.

We define ϕ(σ) = ∑_{x∈supp σ} σ(x)f(x). This associates to each element σ of F_RX a corresponding element ϕ(σ) of M. We obtain in this way a function ϕ: F_RX → M.

Let σ and τ be elements of FRX, let r be an element of the ring R, and let Y be a finite subset of X for which supp σ ⊂ Y and supp τ ⊂ Y . Then supp(σ + τ ) ⊂ Y , and

Thus ϕ: FRX → M is the unique R-module homomorphism satisfying ϕ ◦ iX = f.

It now follows from Lemma 8.5 that the R-module FRX is freely generated by i_X(X). We have also shown that the required universal property is satisfied by the module FRX and the function i_X.

Definition Let X be a set, and let R be a unital ring. We define the free left R-module on the set X to be the module FRX constructed as described in the proof of Proposition 1.1. Moreover we may consider the set X to be embedded in the free module F_RX via the injective function iX: X → F_XX described in the statement of that proposition Abelian groups are modules over the ring Z of integers. The construction of free modules therefore associates to any set X a corresponding free Abelian group F_ZX.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle