7 – 4 – 6 النهايات العظمى للدوال ذات المتغير الواحد:
اذا كانت لدينا الدالة:
y = f (x)
والمطلوب إيجاد قيمة النهايات العظمى لها، فلا بد من القيام بالتحقق من شروط النهاية العظمى وهي شرطان:
الشرط الأول (1) أن نقوم بأخذ التفاضل الأول بالنسبة للمتغير x ومساواته بالصفر ومن ثم حل المعادلة لـ x للحصول على قيمتها الحرجة:
ومن ثم الحصول على الشرط الثاني (2) (الشرط الكافي) حيث نقوم بأخذ التفاضل الثاني للمعادلة نتيجة الشرط الأول (1) بالنسبة للمتغير x : فإن كانت نتيجة هذا التفاضل الثاني ان 
أي أصغر من الصفر فإن هذه نهاية كبرى أي Max . أما إذا كانت نتيجة التفاضل الثاني أكبر من الصفر، حيث؛ 
فإن هذه نهاية صغرى أي Min .
لاحظ أن الرسم البياني يوضح أن قيمة الدالة عند نهاية صغرى أي عند منخفض، وأنها ستواجه بعد ذلك صعوداً إلي أعلى (أي إن التفاضل للثاني سيكون موجباً)؛ بينما إذا كانت قيمة الدالة عند نهاية عظمى أي إنها عند قيمة مرتفع فإنها ستواجه انخفاضاً بعد ذلك (أي إن التفاضل الثاني سيكون سالباً).
مثال: إذا كان لدينا دالة التكاليف الكلية TC التي تعد دالة في كمية الإنتاج Q والمطلوب الحصول على كمية الإنتاج التي تصل التكاليف عندها إلى أقل مستوى (أي النهاية الصغرى للدالة (TC.
فنأخذ التفاضل الأول بالنسبة للكمية ونساويه بالصفر، ونحل بالنسبة للكمية Q للحصول على القيمة أو القيم الحرجة للكمية Q العظمى، كما يأتي:
ثم نحلل للحصول على قيم Q الممكنة.
Q- 3)= 0)(Q- 8 ) أي إن القيمة العظمى (المحققة للنهاية الصغرى) يمكن
أن تكون إحدى قيمتين هما:
Q= 8? او Q= 3?
ثم نأخذ التفاضل الثاني لـ TC بالنسبة لـ Q ونعوض بداخله عن قيم Q الممكنة للوصول إلى القيمة التي تحقق الشرط الثاني (الكافي) تدنية التكاليف.
وبذلك يكون الحل 3 = Q هي كمية الإنتاج التي تصل التكاليف الكلية TC عندها إلى أقل مستوى.
