7-4-7 التعظيم الرياضي (الأمثلية) لدوال في أكثر من متغير واحد:
هناك نوعان من التعظيم أحدهما: (1 تعظيم مقيد بقيود والآخر تعظيم دون قيود.
في كلتا الحالتين نقوم أولاً بإيجاد النقطة الحرجة التي تساوي النهاية العظمى، وهي إما أن تكون نهاية صغرى أو كبرى. ثم نقوم باستخدام المحددة الهيشية المطوقة في حالة التعظيم بشرط لمعرفة النهاية الصغرى من الكبرى للقيمة الحرجة.
حيث يكون الشرط العام لهذه المحددة هو في شكله العام كما يأتي:
أما في حالة التعظيم غير المقيد فنستخدم المحددة الهيشية غير المطوقة، لمعرفة النهاية الصغرى من النهاية الكبرى للقيمة الحرجة، تحت الشرط العام التالي لقيمة هذه المحددة.
ومن ثم بالتعويض عن القيم الممكنة لـ Q في التفاضل الثاني نجد ما يأتي:
كبرى 0 > 5- = (3)2 +11-
صغری 0 > 5 = (8)2 + 11 -
وبما أنها تكاليف والمطلوب نهاية صغرى لـ Q 2 فنأخذ 8 = Q
وللتأكد نعوض في الدالة الأساسية، فلو عوضنا عن 3 = TC = 62.5 ← Q عوضنا عن 8 = Q ← 41.67 = TC إذن يجب أن نستخدم الكمية 8 = Q وذلك للحصول على أقل التكاليف.
وكأمثلة على التعظيم المشروط أي المقيد:
1. تعظيم منفعة مشروط بدخل.
2. تعظيم تكاليف مشروط بكمية إنتاج.
مثال: دالة منفعة لمجتمع يستهلك سلعتين.
حيث الدخل تحت القيد: I = 100
بينما الأسعار
P1 = 2 للسلعة x1
P2 = 3 للسلعة x 2
وهي تحقق الشرط الكافي لنهاية كبرى
أوجد القيمة العظمى
وبعبارة اخرى فإن:
ميل خط الدخل = ميل دالة المنفعة عند نقطة التوازن، اي نقطتي التوازن Y , X
