The notion of parallel transport on a manifold  makes precise the idea of translating a vector field  along a differentiable curve to attain a new vector field  which is parallel to . More precisely, let  be a smooth manifold with affine connectionVector Bundle Connection , let  be a differentiable curve from an interval  into , and let  be a vector tangent to  at  for some . A vector field  is said to be the parallel transport of  along  provided that , , is a vector field for which .

Note that the use of the quantifier parallel in the above definition makes reference to the fact that a parallel transport  of a vector field  along a curve  is necessarily covariantly constant, i.e.,  satisfies

(1)

for all  where, here,  denotes the unique covariant derivative of  associated to .

A standard result in differential geometry is that, under the above hypotheses, parallel transports are unique.

In addition to the above definition, some literature defines parallel transport in a more function analytic way. Indeed, given an interval  and a point , a parallel transport  of  along  is nothing more than a linear transformation

(2)

which maps  to . It is obvious that this transformation is invertible, its inverse being given simply by parallel transport along the reversed portion of  from  to . The expression  has added benefit, too, because despite being defined intrinsically in terms of the affine connection  on , it also provides a mechanism whereby one can recover a manifold's affine connection given a collection  of parallel vector fields along a curve . In particular, if  and , then

(3)

where  is the desired vector field given by the connection  and where .

REFERENCES:

Do Carmo, M. Riemannian Geometry. Boston, MA: Birkhäuser, 1993.

Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2, 3rd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish Press, 1999.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم بين الحرمين يقدم ورشة تدريبية عن صيانة العجلات الكهربائية للملاكات الفنية في مدينة الفردوس

مجموعة مشاتل الكفيل تستقبل طلبة مجموعة العميد التربوية

قسم العلاقات العامة ينظم محاضرة ثقافية لوفد مركز الزهراء (عليها السلام) من ألمانيا

المجمع العلمي يحيي ذكرى ولادة الإمام علي (عليه السلام) في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد