تغير الكتلة مع السرعة

الشكل (1.1) محور الاسناد sʹ حيث تشاهد مركبات السرع لكرتين قبل وبعد التصادم بفرض ان التصادم مرن وتام.

الشكل (1.2) : محور الاسناد s حيث تشاهد مركبات السرع لكرتين قبل وبعد التصادم بفرض ان التصادم مرن وتام.

لابد لنا الآن أن ندرس المسالة الاساسية وهي كيفية تأثير تحويلات السرعة النسبية على قوانين الحركة لجسيم اذا ما اعتبرنا القوى والكتل.

لندرس تصادم جسمين متماثلين، ولنفرض ان التصادم تام المرونة بحيث يرتد الجسيمان دون تغيير في انطلاقهما النسبي. لنفرض ان مشاهدا في محور الاسناد .. يلاحظ الجسمين يقترب احدهما من الاخر على طول مسارين متوازيين بسرعتين متساويتين ومتعاكستين، كما في الشكل (1.1) قبل أن يحدث اي تصادم بينهما .

تحدث الحركة كليا في المستوى xʹ, yʹ وقد صنف الجسيمان برقمي 1 و2€ ومركبتا سرعتيهما الابتدائيتان قبل التصادم بــ (uʹ_x,-uʹ_y) و uʹ_x) -uʹ_y,) على الترتيب. ويعاني كل من الجسيمين بعد التصادم انعكاسا في اتجاه مركبتي سرعتيهما باتجاه الاحداثي yʹ اما مركبتاهما باتجاه الاحداثي xʹ فتبقيان دون تغيير. اذن المركبتان النهائيتان لسرعة كل منهما بعد التصادم هما (uʹ_x, uʹ_y) و( (-uʹ_x,-uʹ_y كما هو موضح في الشكل (1.1).

لنصف الان نفس التصادم كما هو ملاحظ من قبل مشاهد في محور الاسناد s فتكون مركبتا سرعة الجسيم الاول قبل التصادم مساوية الى (u_1x,-u_1y) ومركبتا سرعة الجسيم الثاني (-u_2x, u_2y). وبعد التصادم يعاني كل من الجسيمين انعكاسا في اتجاه مركبتي سرعتيهما في اتجاه الاحداثي y كما هو ملاحظ في الشكل (1.2). فالقيم النهائية تكون اذن للجسيمين (u_1x,u_1y) و  .(-u_2x,-u_2y)ووفقا لقواعد تحويلات السرعة نحصل على سرعة الجسيم الاول بعد التصادم :

وبالمثل نحصل على سرعة الجسيم الثاني بعد التصادم :

وعند حذف uʹ_x وuʹ_y من هذه العلاقات ينتج ان :

واذا حذفنا v من هذه المعادلات الاخيرة نحصل بعد اجراء بعض العمليات الجبرية، على العلاقة الاتية :

   (1.1)

حيث أن :

نستنتج من العلاقة الاخيرة ان u_1y لا تساوي u_2x كما هي مشاهد من قبل ملاحظ في محور الاسناد s بعد التصادم وذلك لاختلاف السرعتين ₁v و₂v.

اذن، اذا كانت كتلتا الجسيمين متساويتين، فالمركبتان u_1y و u_2x تعطيان زخمين غير متساويين، اي سوف لن يكون عندنا زخم خطي محفوظ. لذلك امامنا اختياران، اما ان ننبذ قانون حفظ الزخم الخطي او علينا ان نفرض ان كتلة الجسيم تعتمد بطريقة ما على حركة الجسيم بالنسبة لمشاهد معين. وبدلا من نبذ قانون الزخم الخطي اخترنا البديل الآخر.

نفرض الان ان كتلة الجسيم الاول الذي سرعته v₁ كما هي مقاسة في محور الاسناد s مساوية الى m₁ وللجسيم الثاني الذي سرعته v₂ كما هي مقاسة في هذا المحور مساوية m₂ نطبق قانون حفظ الزخم بالنسبة للجسيمين في محور الاسنادs  فيكون باتجاه الاحداثي y :

    (1.2)

نفرض الان ان m₁= m₀ عندما تكون v₂= 0 كتلة الجسيم عند السكون، وان m₁= mعندما تكون v₁=u كتلة الجسيم المتحرك بسرعة تساوي u.

   (1.3)

ومن الجدير بالذكر انه لو فرضنا ان كتلة الجسيم تبقى ثابتة حتى لو تغيرت سرعته، فان قانون حفظ الزخم لا يبقى محفوظا.