تطبيقات اقتصادية على الدالة التربيعية
معظم دوال العرض والطلب هي دوال غير خطية، ولكن للتبسيط في التحليل قد اعتمدنا في الفصل السابق على دوال العرض والطلب الخطية، ولإيجاد التوازن في نموذج سوق غير خطي، والتي كثيراً ما تتمثل فيه دوال العرض والطلب بمعادلات غير خطية من الدرجة الثانية (التربيعية) سيتم اعتماد أساليب جديدة في التحليل، ولأنه من الممكن أن يكون العرض والطلب ممثلاً بمنحى وليس بخـط مستقيم، أيضاً حتى ولو كانت دوال الطلب والعرض دوال خطية، فإن الدوال المشتقة منها (المبنية عليها) مثل دوال الإيراد الكلي، دوال التكلفة ودوال الربح هي دوال غير خطية، وفي هذه الحالة فإنه من الضروري التعامل مع هذه الظواهر باستخدام دوال أكثر تعقيداً (دوال غير خطية)، ومن أبسط الدوال غير الخطيـة مـا يعرف بالدالة التربيعية.
ونتناول فيما يلي بعض التطبيقات الاقتصادية للدالة التربيعية مثل:
1- توازن السوق غير الخطي.
2 ـ دالة الايراد ودوال التكلفة ودالة الربح.
1- توازن السوق غير الخطي
كثير ما يفترض أن دوال الطلب والعرض تكون خطية وبناء على ذلك فإنه يتم الاعتماد على الطرق الرياضية في حل المعادلات الخطية، وكان من أهمها طريقة الحذف أو طريقة التعويض أو باستخدام المحددات أو باستخدام المصفوفات، وذلك لحل معادلتي العرض والطلب والوصول إلى الوضع التوازني، حيث يتم تحديد السعر التوازني والكمية التوازنية.
ولكن في الحياة العملية كثيراً ما نجد بعض دوال العرض والطلـب غــير الخطية، ولذا فإننا سوف نستخدم أساليب الدالة التربيعية للتعامل مع دوال العرض والطلب غير الخطية، والأمثلة التالية توضح ذلك.
مثال: أوجد التوازن في سوق أحد السلع، إذا كانت دوال العرض والطلب على الصورة التالية:
P=- Qd2 - 5Qd + 52
P= 2Q2s + 10Q, + 10
الحل:
عند التوازن: Q d=Q s = Q
حيث أن:
Q d ← تمثل الكمية المطلوبة
Q s ← تمثل الكمية المعروضة
Q ← تمثل الكمية التوازنية
وبذلك فإنه عند التوازن تصبح دالتي العرض والطلب كما يلي:
P=- Q2 - 5Q + 52
P= 2Q2 + 10Q + 10
وبذلك فإنه عند التوازن يكون:
Q2 - 50 + 52 = 2Q2 + 10Q + 10 -
وذلك لأن كلا الطرفين مساوياً لـ (P).
Q2-15Q +42 = 03 –
معادلة غير خطية (تربيعية) ويتم حلها باستخدام الجذر المميز أو باستخدام التحليل للعوامل الأولية كما يلي:
- بقسمة المعادلة على (3-):
Q2+5Q-14 =0
بالتحليل:
وبذلك فإن الكمية التوازنية تساوي 2 = Q ولذا فإنه لإيجاد السعر التوازني يتم التعويض في معادلة الطلب أو معادلة العرض.
- بالتعويض في دالة الطلب
P= -(2)2 -5(2) +52
38= 52+ 10-4 =
- بالتعويض في دالة العرض:
P=2(2)2 + 10(2) + 10
38= 10 + 20+ 8 =
وبذلك فإن السعر التوازني يساوي 38.
مثال: حدد الكمية التوازنية والسعر التوازني لدوال الطلب والعرض التالية:
P= - Q2d - 4Qd + 68
P=Q2s + 2Q,s + 12
الحل:
عند التوازن فإن: Q d = Q s = Q
وبذلك فإنه عند التوازن تصبح دالتي العرض والطلب كما يلي:
P=-Q2 - 4Q + 68
P=Q2 + 2Q +12
اذن عند التوازن فإن:
Q2 - 4Q + 68 = Q2 + 2Q + 12 -
وذلك لأن كلا الطرفين = السعر (P)
Q2-6Q+56 =0 -
يصبح لدينا دالة تربيعية (غير خطية) ولحلها نستخدم النموذج التربيعي - بالقسمة على 2-
Q2 + 3Q - 28 = 0
ثم الحل باستخدام تحليل مقدار ثلاثي كما يلي:
(Q+7) (Q-4) = 0
Q-7=0
Q-4=0
ـــــــــــــــــــــــــ
Q=-7
Q=4
مرفوض
يلاحظ أنه عند حل الدالة التربيعية السابقة وجد أن لها حلين وقد أهملنا الحل السالب وذلك لأن السعر التوازني والكمية التوازنية يجب إن يكونا موجبان، وبذلك نجد أن نقطة تقاطع منحنى الطلب ومنحنى العرض، عند النقطة (36 ،4).
