الفصل الخامس
النهايات العظمى والصغرى للدوال (الامثلية)
Maximum & Minimum of functions (Optimization)
مقدمة:
إذا كان لدينا الدالة (y= f (x دالة متصلة ويمثلها معادلة من الدرجة الثانية أو من درجة أعلى ويمكن تمثيلها بيانياً كما في الشكل التالي:
شكل يوضح النهايات العظمى والصغرى
يتضح من الشكل السابق:
1- أن الدالة (y=f (x لها أكثر من قمة مثل (C) ، (A) كما أن لها أكثر مـن قـاع مثل (D) (B) ومن ثم يمكن إيجاد أكثر من نهاية عظمى وأكثر من نهاية صغرى حسب طبيعة الدالة.
2- أن المماس للمنحنى عند نقط النهايات العظمى والصغرى يكون موازياً للمحور الأفقي وهذا يعني أن ميل المماس للمنحنى عند النهايات العظمي والصغرى يساوي صفر أي أن:
تحديد النهايات العظمى والصغرى ونقطة الانقلاب للدوال باستخدام المشتقة الأولى:
1- تحديد النهاية العظمى للدالة باستخدام المشتقة الأولى:
يقال أن لدالة ما نهاية عظمى عند نقطة ما إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أكبر من أية قيمة أخرى لها بذلك تبلغ الدالة نهايتها العظمى عند النقطة (B) إذا كانت قيمتها عند هذه النقطة أكبر من قيمتها عند كل النقط السابقة والنقط التالية لها مباشرة ويتضح ذلك من الشكل التالي:
في ضوء الشكل السابق يمكن تحديد النهاية العظمى للدالة باستخدام المشتقة الأولى كما يلي:
1- أن الدالة تتزايد في الجزء (AB) بمعنى أن (y) تتزايد بازدياد قيمة (X) في هذا الجزء وإن ميل المماس 
يكون موجب عند جميع النقاط التي تسبق
النقطة (B) مباشرة، أي أن ميل المماس عند أي نقطة سابقة للنقطة (B) موجباً أي أن: 
2- إن النقطة (B) تمثل النهاية العظمى للدالة وعند هذه النقطة نجد أن ميل المماس يساوي صفر، أي أن 
حيث يكون المماس موازياً للمحور الأفقي.
3- الدالة تتناقص من الجزء (BC) بمعنى أن (y) تتناقص بازدياد قيمة (X) في هذا الجزء وإن ميل المماس 
يكون سالباً عند جميع النقاط التي تسبق النقطة (B) مباشرة. أي أن ميل المماس عند أي نقطة سابقة للنقطة (B) يكون سالباً، أي أن 
4- مما سبق يتضح أن إشارة المــيل 
تتغير من موجب (+) عند أي نقطة سابقة للنقطة (B) إلى سالب (-) عند أي نقطة للنقطة (B) وبذلك فإن 
يجب أن يساوي صفر عند النهاية العظمى للدالة أي عند النقطة (B).
2- تحديد النهاية الصغرى للدالة باستخدام المشتقة الأولى:
يقال أن لدالة ما نهاية صغرى عند نقطة ما إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أقل من أية نقطة أخرى لها، وبذلك تتحدد النهاية الصغرى للدالة عنـد النقطة (D) إذا كانت قيمتها عند هذه النقطة أقل من قيمتها عند أي نقطة أخرى سواء كانت سابقة لها أو تالية لها مباشرة. ويتضح ذلك من الشكل التالي.
في ضوء الشكل السابق يمكن تحديد النهاية الصغرى للدالة باستخدام المشتقة الأولى كما يلي:
1- إن النقطة (D) تمثل النهاية الصغرى للدالة، وعند هذه النقطة نجد أن ميل المماس يساوي صفر، حيث يكون موازياً للمحور الأفقي أي ان: 
2- أن الدالة تتناقص من الجزء (CD) بمعنى أن (y) تتناقص مع زيادة (x) في هذا الجزء، وأن ميل المماس 
أي يكون سالب عند جميع النقط التي تسبق النقطة (D) مباشرة، أي أن ميل المماس عند أي نقطة سابقة للنقطة (D) يكون سالباً، أي أن: 
3- أن الدالة تتزايد من الجزء (DE) بمعنى أن (y) تتزايد مع زيادة (x) من هذا الجزء، وأن ميل المماس أي 
يكون موجب عند جميع النقط التي تلي النقطة (D) مباشرة. أي أن ميل المماس عند أي نقطة تالية (D) يكون موجب، أي أن: 
4- مما سبق يتضح أن إشارة الميل تتغير من سالب (-) عند اي نقطة سابقة للنقطة (D) إلى موجب (+) عند اي نقطة تالية للنقطة (D)، وبذلك فإن يجب أن يساوي صفر عند النهاية الصغرى للدالة أي عند النقطة (D).
