تحديد النهايات العظمى والصغرى ونقطة الانقلاب للدوال باستخدام المشتقة الجزئية الثانية
1- تحديد النهاية العظمى للدالة باستخدام المشتقة الثانية
رأينا فيما سبق أنه عند نقطة النهاية العظمى للدالة تكون المشتقة الأولى
موجبة الإشارة قبل نقطة النهاية العظمى ثم تساوي الصفر عند نقطة النهاية العظمى، ثم تكون سالبة الإشارة بعدها، أي أن المشتقة الأولى حول نقطة النهاية العظمى تتحول من موجبة إلى صفر إلى سالبة، أي أنها دالة متناقصة في حد ذاتها وبالتالي فإن معدل تغيرها سالب ومن ثم فإن المشتقة الأولى لدالة الميل (المشتقة الثانية للدالة الأصلية) تكون سالبة، أي أن: 
مما سبق يتضح أن المشتقة الثانية 
وهي معدل التغير في المشتقة الأولى ، وأن المشتقة الأولى تغيرت من موجب (+) أي سالب (-) أي تتناقص عند النهاية العظمى لها، فإن المشتقة الثانية تكون سالبة وبذلك فإن:
يكون للدالة f (y) = y نهاية عظمى إذا تحقق شرطان هما:
2 ـ تحديد النهاية الصغرى للدالة باستخدام المشتقة الثانية:
رأينا فيما سبق أن المشتقة الأولى
حول نقطة النهاية الصغرى للدالة تكون سالبة الإشارة قبلها ثم تساوي صفر عندها ثم تكون موجبة بعدها، أي أن المشتقة الأولى للدالة (الميل) حول نقطة النهاية الصغرى تتحول من سالبة إلى صفر إلى موجبة، أي أن دالة الميل متزايدة وبالتالي فإن معدل تغيرها موجب أي أن المشتقة الأولى لدالة الميل (المشتقة الثانية للدالة الأصلية) تكون موجبة عند نقطة النهاية الصغرى. أي أن: 
مما سبق يتضح أن المشتقة الثانية
وهو معدل التغير في الميل (المشتقة الأولى) 
، ولما كانت المشتقة الأولى
تتغير من سالب (-) إلى موجب (+) أي تتزايد عند النهاية الصغرى، فإن
تكون موجبة.
مما سبق يتضح أن للدالة f (x)= y نهاية صغرى إذا تحقق شرطان هما:
مما سبق يتضح أنه لإيجاد النهايات العظمى والصغرى للدوال باستخدام المشتقة الثانية نجد أن:
مثال: حدد النهايات العظمى والصغرى للدالة باستخدام المشتقة الثانية
y= 4x3 – 21x2 + 18x +20
مثال: حدد النهايات العظمة والصغرى للدالة:
Y = 200 + 5x4 – x5
الحل:
حيث أن إشارة المشتقة الثانية سالبة يكون للدالة نهاية عظمى عندما X=4
