مثال 5–2 (جسيم ينزلق على نصف كرة). جُسيم (كتلته m) ينزلق على سطح أملس لنصف كرة مقلوبة (نصف قطرها R)، بادئًا من السكون عند القمة (تبدأ الحركة بدفعة صغيرة). عند اللحظة التي يهبط فيها الجسم بمقدار الزاوية θ، كم يكون مقدار سرعته؟ وكم يكون مقدار القوة التي يؤثر بها نصف الكرة على الجسيم؟ وعند أي قيمة للزاوية θ يطير الجسيم بعيدًا عن السطح؟ إذا أخذنا نقطة الأصل عند مركز نصف الكرة، فإنz = R cosθ  والمعادلة (13–5) تعطي v² = 2g(R – R cos θ). لحساب القوة التي يبذلها نصف الكرة على الجسيم، علينا استخدام قانون نيوتن الثاني (). هناك قوتان تؤثران على الجسيم:

(1) قوة الجاذبية التثاقلية ومقدارها mg واتجاهها رأسيًا إلى أسفل.

(2) القوة العمودية  التي يبذلها السطح في الاتجاه القطري إلى الخارج.

لا توجد قوى أخرى تؤثر على الجسيم.

شكل 5–6: مخطط بيان القوة لجسيم ينزلق على سطح نصف كروي في المثال 5–2.

متجه عجلة الجسيم له مركَّبة v²/R في اتجاه نصف القطر إلى الداخل ومركبة dv/dt في اتجاه المماس إلى أسفل. لا يهمنا إلا المركبة القطرية للقوة ، التي تعطي:

معادلة (15–5) ذات معنى في أمرين: عندما تكون 0 = θ تعطي N = mg، وكلما زادت θ تناقصت N. [تحذير بعض الطلاب سيكتب المعادلة (b14–5) على الفور دون أن يكتب المعادلة (a14–5). الشخص الذي يفعل ذلك غالبًا ما يفكر بالتأكيد في mv²/R كقوة ثالثة تؤثر على الجسيم وسوف تصبح في النهاية مضللة. ينبغي البدء

دائما بوضع كل القوى على أحد جانبي علامة التساوي وعلى الجانب الآخر.]

عند أي قيمة للزاوية θ يطير الجسيم بعيدًا؟ يجد العديد من الطلاب (بل معظمهم) صعوبة في وضع المعيار الذي يحدد النقطة التي عندها يترك الجسيم السطح. من المهم إدراك أن السطح يمكن فقط أن يدفع الجسيم ولا يستطيع جذبه. بفحص المعادلة (15–5) نرى أن 0 = N عندما تكون °48 = (2/32) 0, θ = cos^–1 < N عندما تكون48° > θ، 0 > N عندما تكون °48 < θ. قيمة N السالبة تعني أن السطح يتطلب جذب الجسيم قطريا إلى الداخل. وبما أن السطح لا يستطيع عمل ذلك، فإن الجسيم سيطير بعيدًا، عندما تكون (°48= θ) 0 = N. لاحظ لو أننا كنا نناقش حالة خرزة تنزلق على سلك أملس مُنْحَنٍ على شكل نصف دائرة مقلوبة، فإن السلك يستطيع (ويمكنه) أن يوفر القوة الضرورية إلى الداخل عندما تكون °48 < θ.

مثال 5–3 (حركة بندول). يتكون بندول بسيط من كتلة نقطية m مربوطة في السقف بخيط لا وزن له طوله L. يتأرجح البندول إلى الأمام وإلى الخلف، مع البقاء دائما في نفس المستوى الرأسي. السعة الزاوية للذبذبة هي θ_max (أي عندما يكون البندول عند إحدى نهايتي حركته القصوى، تكون الزاوية بين الخيط والاتجاه الرأسي هي θ_max)

(أ) أوجد مقدار سرعة البندول والشَّد في الخيط عند اللحظة التي يصنع فيها البندول زاوية θ مع الرأسي.

(ب) بفرض أن θ_max صغيرة (أقل من 0.1 بالتقدير الدائري)، استخدم نتيجة (أ) لحساب الزمن الدوري للبندول؛ أي الزمن اللازم لكي يتمم البندول ذبذبة كاملة. (أكثر صعوبة.)

القوة التي يبذلها الخيط متجهة بطول الخيط وعمودية على سرعة الكتلة النقطية؛ وبناءً على ذلك، في أي فترة زمنية صغيرة tΔ تكون الإزاحة  للكتلة النقطية عمودية على القوة التي يبذلها الخيط؛ ومن ثَمَّ فإن الخيط لا يبذل شغلًا. الجاذبية فقط هي التي تبذل شغلًا على الكتلة؛ ولهذا نستطيع استخدام المعادلة (13–5) إذا اخترنا الصفر ليكون اللحظة التي عندها يصنع الخيط أقصى زاوية θ_max مع الرأسي (ولهذا 0 = v₀)

شكل 5–7: بندول بسيط.

واخترنا ”f“ ليكون اللحظة التي عندها يصنع الخيط زاوية θ مع الأفقي ويكون مقدار سرعته هو v، وبهذا تعطي المعادلة (13–5):

المعادلة (17–5) تعطي مقدار السرعة عند أي نقطة في حركة البندول. أثناء الذبذبة الكاملة يمر البندول بكل نقطة مرتين مرة ذهابًا إلى اليمين ومرة ذهابًا إلى اليسار.

هذه المعادلة تقول إن T تكون أكبر ما يمكن عند 0 = θ وأصغر ما يمكن عند θ_max = θ. وإذا كانت θ_max صغيرة جدًّا، فإن جيبي التمام يقتربان من الواحد ويكون
T ≃ mg كما هو متوقع.

يمكننا استخدام المعادلة (17–5) لحساب الزمن الدوري للبندول. عندما تتغير زاوية الخيط مع الرأسي من θ إلى dθ + θ تكون الكتلة قد قطعت المسافة Ldθ. الزمن اللازم لكي تقطع الكتلة هذه المسافة هو:

الزمن اللازم لكي يتحرك البندول من أدنى نقطة في مساره إلى إحدى نهايتي ذبذبته يعين بتكامل الجانب الأيمن للمعادلة (520) بالنسبة إلى θ من 0 = θ إلى θ = θ_max. هذا الزمن يساوي ربع الزمن الدوري τ؛ وعلى ذلك نجد أن:

التكامل ليس أوليًّا (يسمى تكاملا ناقصيًّا)، ولكن يمكن إجراؤه عندما تكون θ_max صغيرة بدرجة كافية باستخدام سلسلة ماكلورين لجيب التمام¹ (حيث θ تقاس بالتقدير الدائري)، يكون ... – !4/θ⁴ +!²/2θ – 1 = θ cos، وبحذف جميع الحدود بعد الحدين الأولين نحصل على cos θ – cos θ_max = (1/2) (θ²_max – θ²) ويكون الخطأ أقل من واحد في الألف إذا كانت 0.1 >θ_max  بالتقدير الدائري)؛ ومن ثُمَّ فإن المعادلة (21–5) تصبح:

عند هذه المرحلة، حتى قبل تعيين التكامل النهائي، فإنه من الواضح بالبرهان أن الزمن الدوري لا يعتمد على السعة الزاوية θ_max (بشرط أن تكون 1 ≪ θ_max). هذا يعني أنه إذا وجد بعض الإخماد البسيط في النظام (نتيجة مقاومة الهواء، أو احتكاك في التعليق مسببًا نقصانθ_max  ببطء، فإن الزمن الدوري للبندول لا يتغير بنقصان السعة الزاوية. هذه هي الخاصية التي تتيح استخدامه كساعة يعول عليها.

لإيجاد التكامل النهائي نجري تعويضًا إضافيًاx = sin Ф . وباستخدام dx = cos Ф dФ و ، نجد أن:

إذا لم تكن السعة الزاوية للتذبذب صغيرة، فإن زمن الذبذبة يعتمد قليلا على السعة، ويزداد بزيادة السرعة.

التفسير السابق يمكن تحديده ليعطي وصفًا كاملًا لحركة البندول، أي يعطي صيغة صريحة للزاوية θ كدالة في الزمن t. إذا أخذنا 0 = t عند اللحظة التي يمر فيها البندول بنقطته الدنيا متحركا جهة اليمين فإن الزمن t اللازم لذهاب البندول من نقطته الدنيا إلى زاوية θ هو:

مثال 5–4 (انزلاق إلى أسفل). بدأت مزلجة من السكون متحركة إلى أسفل تل طوله D₁ وزاويته θ، وتستمر بطول حقل مسطح إلى أن تصل إلى السكون على بعد D₂ من قاعدة التل باستخدام نظرية الشغل والطاقة استنتج معادلة لإيجاد معامل الاحتكاك الحركي μ_k بين المزلجة والجليد بدلالة D₁ وD₂ وθ [الركن عبارة عن منحنى لا احتكاكي قصير]. التل والحقل يكسوهما الثلج، لكننا نفترض أن تأثير مزلجات عديدة ترتطم بالركن قد حوله إلى جليد أملس. إذا كان معامل الاحتكاك الحركي للركن لا يساوي صفرا، فإنه ليس من الصواب إهمال تأثير الركن حتى لو كان قصيرًا جدًّا.

إحدى طرق حل هذه المسألة أن تستخدم  والمعادلات الكينماتيكية (ينبغي أن تفعل هذا). نظرية الشغل والطاقة تتيح حلًّا مباشرًا وموجزًا، إذا اخترنا الصفر ”0“ ليكون اللحظة التي تكون المزلجة عندها ساكنة على قمة التل، و"f" اللحظة التي تصل عندها أخيرًا إلى السكون عند القاعدة، فإن 0 = v₀ = v_f؛ ومن ثَمَّ يكون
0 = W_grav + W_fric (حيث W_grav وW_fric هما الشغل المبذول بالجاذبية والاحتكاك، على الترتيب). من المعادلة (6–5) لدينا W_grav = mg D₁ sin θ. وعلى المنحدر مقدار القوة الاحتكاكية هو μ_k mg cos θوتعمل في عكس اتجاه حركة المزلجة؛ بذلك يكون الشغل المبذول

شكل 5–8: انزلاق إلى أسفل فوق حقل مسطح.

بالاحتكاك أثناء هبوط المزلجة على المنحدر هو μ_k D₁ mg cos θ–، بالمثل، الشغل المبذول بالاحتكاك أثناء حركة المزلجة بطول الحقل المسطح، هوμ_k mg D₂ –؛ وعليه فإن:

______________________________________________
هوامش

(1) National Institute of Standards and Technology, Digital library of mathematical functions, Cambridge University Press, UPH, Shaftesbury Road, Cambridge, CB2 8BS, United Kingdom, 2010.