موضع المحور اختياري

غالباً ما يكون للجسم الموجود في حالة اتزان محور دوران واضح ، وعادة ما يستخدم هذا المحور لحساب عزوم الدوران. ولكن مثل هذا المحور الواضح لا يكون موجوداً في كثير من المواقف. وسوف نرى في هذا القسم أن لدينا الحرية كاملة في اختيار أي محور نراه مناسباً عند تطبيق الشرط الثاني للاتزان. ومن بين الأدلة على ذلك أن الجسم في حالة الاتزان لا يدور حول أي محور سواء كان داخل الجسم أو خارجه، وعليه فإن مجموع عزوم دوران القوة المؤثرة على جسم حول أي (وكل) محور يجب أن يكون صفراً. ولكننا مع ذلك سنطرح هذا الاستدلال العام جانباً ونحاول إثبات النتيجة رياضياً.

لنأخذ الموقف المبين بالشكل (1) الذي يمثل رسام إعلانات وزنه W_p وافقاً في حالة اتزان على لوح خشبي منتظم وزنه W_b وطوله L. مركز ثقل هذا اللوح يقع في مركز الهندسي ، ولهذا فإن W_b يؤثر عند هذه النقطة كما هو واضح في الشكل  1) ب). لنفرض أن الشدين في السلكين الحاملين T₁ و T₂ سوف نثبت الآن أن الصورة الأخيرة لمعادلة عزوم الدوران لحالة الاتزان هذه لا تعتمد على المحور المختار.

الشكل (1)

بأخذ خط مار بالنقطة A كمحور، عليك إثبات أن معادلة عزوم الدوران 0=τΣ ستصبح على الصورة:

وبتجميع حدود المحتوية على الطول الاختياري a :

ويمكن بسهولة إثبات أن معامل a في هذه المعادلة يساوي صفراً بشرط أن يكون النظام في حالة اتزان ذلك أن : ΣF_y = 0 عند الاتزان ، إذن:

وحيث أن هذا هو معامل ضرب a في المعادلة ، إذن الحد المعني يساوي صفراً ومن ثم فإن معادلة العزوم هي:

وهي لا تعتمد على A أو موضع المحور المختار. هذا يثبت أن موضع المحور اختياري في هذه الحالة على الأقل.

ومع أننا حصلنا على هذه النتيجة في حالة خاصة معينة إلا أنه يمكن برهانها في الحالة العامة. وبهذا نكون قد حصلنا على النتيجة العامة الآتية:

عند كتابة معادلة عزوم الدوران لجسم في حالة اتزان يكون اختيار موضع المحور اختيارياً.